Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme uvuv ou la dérivée d'un produit - Exercice 1

15 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=(3x−1)(2x+6)f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(2x+6\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=3x−1u\left(x\right)=3x-1 et v(x)=2x+6v\left(x\right)=2x+6
Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(2x+6)+(3x−1)×2f'\left(x\right)=3\times \left(2x+6\right)+\left(3x-1\right)\times 2
f′(x)=3×2x+3×6+3x×2+(−1)×2f'\left(x\right)=3\times 2x+3\times 6+3x\times2+\left(-1\right)\times 2
f′(x)=6x+18+6x−2f'\left(x\right)=6x+18+6x-2
f′(x)=12x+16f'\left(x\right)=12x+16
Question 2

f(x)=(5x+3)(6x+1)f\left(x\right)=\left(5x+3\right)\left(6x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=5x+3u\left(x\right)=5x+3 et v(x)=6x+1v\left(x\right)=6x+1
Ainsi : u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=6v'\left(x\right)=6.
Il vient alors que :
f′(x)=5×(6x+1)+(5x+3)×6f'\left(x\right)=5\times \left(6x+1\right)+\left(5x+3\right)\times 6
f′(x)=5×6x+5×1+5x×6+3×6f'\left(x\right)=5\times6x + 5\times1+5x\times 6+3\times 6
f′(x)=30x+5+30x+18f'\left(x\right)=30x+5+30x+18
f′(x)=60x+23f'\left(x\right)=60x+23
Question 3

f(x)=(7x+4)(−3x+2)f\left(x\right)=\left(7x+4\right)\left(-3x+2\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=7x+4u\left(x\right)=7x+4 et v(x)=−3x+2v\left(x\right)=-3x+2
Ainsi : u′(x)=7u'\left(x\right)=7 et v′(x)=−3v'\left(x\right)=-3.
Il vient alors que :
f′(x)=7×(−3x+2)+(7x+4)×(−3)f'\left(x\right)=7\times \left(-3x+2\right)+\left(7x+4\right)\times \left(-3\right)
f′(x)=−21x+14−21x−12f'\left(x\right)=-21x+14-21x-12
f′(x)=−42x+2f'\left(x\right)=-42x+2
Question 4

f(x)=(−2x+9)(−x+4)f\left(x\right)=\left(-2x+9\right)\left(-x+4\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=−2x+9u\left(x\right)=-2x+9 et v(x)=−x+4v\left(x\right)=-x+4
Ainsi : u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2 et v′(x)=−1v'\left(x\right)=-1.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2)×(−x+4)+(−2x+9)×(−1)f'\left(x\right)=\left(-2\right)\times \left(-x+4\right)+\left(-2x+9\right)\times \left(-1\right)
f′(x)=2x−8+2x−9f'\left(x\right)=2x-8+2x-9
f′(x)=4x−17f'\left(x\right)=4x-17
Question 5

f(x)=(3x2−x)(4x−1)f\left(x\right)=\left(3x^{2} -x\right)\left(4x-1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=3x2−xu\left(x\right)=3x^{2} -x et v(x)=4x−1v\left(x\right)=4x-1
Ainsi : u′(x)=6x−1u'\left(x\right)=6x-1 et v′(x)=4v'\left(x\right)=4.
Il vient alors que :
f′(x)=(6x−1)×(4x−1)+(3x2−x)×4f'\left(x\right)=\left(6x-1\right)\times \left(4x-1\right)+\left(3x^{2} -x\right)\times 4
f′(x)=24x2−6x−4x+1+12x2−4xf'\left(x\right)=24x^{2} -6x-4x+1+12x^{2} -4x
f′(x)=36x2−14x+1f'\left(x\right)=36x^{2} -14x+1