La forme $$\frac{u}{v}$$ ou la dérivée d'un quotient - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{1;4\right\}$$ (on enlève les valeurs interdites). ( c'est facile à montrer on calcule le delta du dénominateur).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{3}+2x^{2}-8x+10$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}-4x+5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x^{2}+4x-8$$ et $$v'\left(x\right)=2x-4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+4x-8\right)\times \left(x^{2}-4x+5\right)-\left(2x^{3}+2x^{2}-8x+10\right)\times \left(2x-4\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4}-24x^{3}+30x^{2}+4x^{3}-16x^{2}+20x-8x^{2}+32x-40\right)-\left(4x^{4} -8x^{3}+4x^{3}-8x^{2}-16x^{2}+32x+20x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40\right)-\left(4x^{4} -4x^{3}-24x^{2}+52x-40\right)}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6x^{4} -20x^{3}+6x^{2}+52x-40-4x^{4}+4x^{3}+24x^{2}-52x+40}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{4}-16x^{3}+30x^{2}}{\left(x^{2}-4x+5\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{0\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2} +2x-4$$ et $$v\left(x\right)=x$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x+2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(4x+2\right)\times x-\left(2x^{2}+2x-4\right)\times \left(1\right)}{\left(x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(4x^{2} +2x\right)-\left(2x^{2}+2x-4\right)}{\left(x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4x^{2} +2x-2x^{2}-2x+4}{\left(x\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=-8x^{3}-4$$ et $$v\left(x\right)=4x^{2}+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-24x^{2}$$ et $$v'\left(x\right)=8x$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{-24x^{2} \times \left(4x^{2} +1\right)-\left(-8x^{3} -4\right)\times 8x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} -\left(-64x^{4} -32x\right)}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-96x^{4} -24x^{2} +64x^{4} +32x}{\left(4x^{2} +1\right)^{2} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=3x^{2}-7x$$ et $$v\left(x\right)=-x^{3}+2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x-7$$ et $$v'\left(x\right)=-3x^{2}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{(6x-7) \times \left(-x^{3}+2\right)-\left(3x^{2}-7x\right)\times -3x^{2}}{\left(-x^{3}+2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6x \times (-x^{3})+6x\times2-7\times(-x^{3})-7\times2-(3x^{2}\times(-3x^{2})-7x\times(-3x^{2}))}{\left(-x^{3}+2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-6x^{4} +12x+7x^{3}-14 -\left(-9x^{4} +21x^{3}\right)}{\left(-x^{3}+2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-6x^{4}+7x^{3} +12x-14 +9x^{4} -21x^{3}}{\left(-x^{3}+2\right)^{2} }$$