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La forme uv\frac{u}{v} ou la dérivée d'un quotient - Exercice 2

12 min
25
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
Question 1

f(x)=2x+54x−4f\left(x\right)=\frac{2x+5}{4x-4}

Correction
ff est dérivable sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=2x+5u\left(x\right)=2x+5 et v(x)=4x−4v\left(x\right)=4x-4
Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=4v'\left(x\right)=4.
Il vient alors que :
f′(x)=2×(4x−4)−(2x+5)×4(4x−4)2f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x-4\right)-\left(2x+5\right)\times 4}{\left(4x-4\right)^{2} }
f′(x)=8x−8−(8x+20)(4x−4)2f'\left(x\right)=\frac{8x-8-\left(8x+20\right)}{\left(4x-4\right)^{2} }
f′(x)=8x−8−8x−20(4x−4)2f'\left(x\right)=\frac{8x-8-8x-20}{\left(4x-4\right)^{2} }
f′(x)=−28(4x−4)2f'\left(x\right)=\frac{-28}{\left(4x-4\right)^{2} }

Question 2

f(x)=x−65x−3f\left(x\right)=\frac{x-6}{5x-3}

Correction
ff est dérivable sur R−{35}\mathbb{R}-\left\{\frac{3}{5}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=x−6u\left(x\right)=x-6 et v(x)=5x−3v\left(x\right)=5x-3
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=5v'\left(x\right)=5.
Il vient alors que :
f′(x)=1×(5x−3)−(x−6)×5(5x−3)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(5x-3\right)-\left(x-6\right)\times 5}{\left(5x-3\right)^{2} }
f′(x)=5x−3−(5x−30)(5x−3)2f'\left(x\right)=\frac{5x-3-\left(5x-30\right)}{\left(5x-3\right)^{2} }
f′(x)=5x−3−5x+30(5x−3)2f'\left(x\right)=\frac{5x-3-5x+30}{\left(5x-3\right)^{2} }
f′(x)=27(5x−3)2f'\left(x\right)=\frac{27}{\left(5x-3\right)^{2} }

Question 3

f(x)=7x+5−3x+9f\left(x\right)=\frac{7x+5}{-3x+9}

Correction
ff est dérivable sur R−{3}\mathbb{R}-\left\{3\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=7x+5u\left(x\right)=7x+5 et v(x)=−3x+9v\left(x\right)=-3x+9
Ainsi : u′(x)=7u'\left(x\right)=7 et v′(x)=−3v'\left(x\right)=-3.
Il vient alors que :
f′(x)=7×(−3x+9)−(7x+5)×(−3)(−3x+9)2f'\left(x\right)=\frac{7\times \left(-3x+9\right)-\left(7x+5\right)\times \left(-3\right)}{\left(-3x+9\right)^{2} }
f′(x)=−21x+63−(−21x−15)(−3x+9)2f'\left(x\right)=\frac{-21x+63-\left(-21x-15\right)}{\left(-3x+9\right)^{2} }
f′(x)=−21x+63+21x+15(−3x+9)2f'\left(x\right)=\frac{-21x+63 +21x+15}{\left(-3x+9\right)^{2} }
f′(x)=78(−3x+9)2f'\left(x\right)=\frac{78}{\left(-3x+9\right)^{2} }
Question 4

f(x)=x2−4x+36x+5f\left(x\right)=\frac{x^{2} -4x+3}{6x+5}

Correction
ff est dérivable sur R−{−56}\mathbb{R}-\left\{-\frac{5}{6} \right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=x2−4x+3u\left(x\right)=x^{2} -4x+3 et v(x)=6x+5v\left(x\right)=6x+5
Ainsi : u′(x)=2x−4u'\left(x\right)=2x-4 et v′(x)=6v'\left(x\right)=6.
Il vient alors que :
f′(x)=(2x−4)×(6x+5)−(x2−4x+3)×6(6x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\times \left(6x+5\right)-\left(x^{2} -4x+3\right)\times 6}{\left(6x+5\right)^{2} }
f′(x)=(12x2+10x−24x−20)−(6x2−24x+18)(6x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(12x^{2} +10x-24x-20\right)-\left(6x^{2} -24x+18\right)}{\left(6x+5\right)^{2} }
f′(x)=(12x2−14x−20)−(6x2−24x+18)(6x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(12x^{2} -14x-20\right)-\left(6x^{2} -24x+18\right)}{\left(6x+5\right)^{2} }
f′(x)=12x2−14x−20−6x2+24x−18(6x+5)2f'\left(x\right)=\frac{12x^{2} -14x-20-6x^{2} +24x-18}{\left(6x+5\right)^{2} }
f′(x)=6x2+10x−38(6x+5)2f'\left(x\right)=\frac{6x^{2} +10x-38}{\left(6x+5\right)^{2} }
Question 5

f(x)=−4x−93x2+6f\left(x\right)=\frac{-4x-9}{3x^{2}+6}

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} . Ici, le dénominateur ne s'annule jamais sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=−4x−9u\left(x\right)=-4x-9 et v(x)=3x2+6v\left(x\right)=3x^{2}+6
Ainsi : u′(x)=−4u'\left(x\right)=-4 et v′(x)=6xv'\left(x\right)=6x.
Il vient alors que :
f′(x)=(−4)×(3x2+6)−(−4x−9)×6x(3x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{\left(-4\right)\times \left(3x^{2}+6\right)-\left(-4x-9\right)\times 6x}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=−12x2−24−(−24x2−54x)(3x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-12x^{2}-24-\left(-24x^{2}-54x\right)}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=−12x2−24+24x2+54x(3x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-12x^{2} -24+24x^{2}+54x}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=12x2+54x−24(3x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{12x^{2}+54x-24}{\left(3x^{2}+6\right)^{2} }

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