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Dérivation : Partie enseignement de spécialité
La forme
1
v
\frac{1}{v}
v
1
ou la dérivée de l'inverse - Exercice 5
5 min
15
Soit
f
f
f
la fonction définie et dérivable sur
]
−
∞
;
7
3
[
\left]-\infty ;\frac{7}{3}\right[
]
−
∞
;
3
7
[
par :
f
(
x
)
=
−
5
x
+
9
+
11
3
x
−
7
f\left(x\right)=-5x+9+\frac{11}{3x-7}
f
(
x
)
=
−
5
x
+
9
+
3
x
−
7
11
Question 1
Déterminer l'expression de
f
′
f'
f
′
.
Correction
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
e de l’inverse
\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
e de l’inverse
On considère une fonction
v
v
v
dérivable sur un intervalle
I
I
I
alors
(
1
v
)
′
=
−
v
’
v
2
\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
(
v
1
)
′
=
v
2
−
v
’
f
f
f
est dérivable sur
]
−
∞
;
7
3
[
\left]-\infty ;\frac{7}{3}\right[
]
−
∞
;
3
7
[
.
On reconnaît la forme
(
1
v
)
′
=
−
v
′
v
2
\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }
(
v
1
)
′
=
v
2
−
v
′
avec
v
(
x
)
=
3
x
−
7
v\left(x\right)=3x-7
v
(
x
)
=
3
x
−
7
. Ainsi :
v
′
(
x
)
=
3
v'\left(x\right)=3
v
′
(
x
)
=
3
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
−
5
+
11
×
−
3
(
3
x
−
7
)
2
f'\left(x\right)=-5+11\times \frac{-3}{\left(3x-7\right)^{2} }
f
′
(
x
)
=
−
5
+
11
×
(
3
x
−
7
)
2
−
3
f
′
(
x
)
=
−
5
−
33
(
3
x
−
7
)
2
f'\left(x\right)=-5-\frac{33}{\left(3x-7\right)^{2} }
f
′
(
x
)
=
−
5
−
(
3
x
−
7
)
2
33