Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme 1v\frac{1}{v} ou la dérivée de l'inverse - Exercice 4

15 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
Question 1

Soit la fonction ff définie sur ]−3;3[\left]-3;3\right[ par f(x)=19−x2f\left(x\right)=\frac{1}{9-x^{2} }.

Correction
ff est dérivable sur ]−3;3[\left]-3;3\right[.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=9−x2v\left(x\right)=9-x^{2}
Ainsi : v′(x)=−2xv'\left(x\right)=-2x.
Il vient alors que :
f′(x)=−(−2x)(9−x2)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-2x\right)}{\left(9-x^{2} \right)^{2} }
f′(x)=2x(9−x2)2f'\left(x\right)=\frac{2x}{\left(9-x^{2} \right)^{2} }

Question 2

f(x)=15−10xf\left(x\right)=\frac{1}{5-10x}.

Correction
ff est dérivable sur R−{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=5−10xv\left(x\right)=5-10x
Ainsi : v′(x)=−10v'\left(x\right)=-10.
Il vient alors que :
f′(x)=−(−10)(5−10x)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-10\right)}{\left(5-10x \right)^{2} }
f′(x)=10(5−10x)2f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(5-10x \right)^{2} }
Question 3

f(x)=13xf\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt{x} }.

Correction
ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=3xv\left(x\right)=3\sqrt{x}
Ainsi : v′(x)=32xv'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{x} }.
Il vient alors que :
f′(x)=−(32x)(3x)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{3}{2\sqrt{x} } \right)}{\left(3\sqrt{x} \right)^{2} }
f′(x)=−(32x)9xf'\left(x\right)=\frac{-\left(\frac{3}{2\sqrt{x} } \right)}{9x}
f′(x)=−32x×19xf'\left(x\right)=\frac{-3}{2\sqrt{x} } \times \frac{1}{9x}
f′(x)=−16xxf'\left(x\right)=\frac{-1}{6x\sqrt{x} }

Question 4

f(x)=49x−2f\left(x\right)=\frac{4}{9x-2}.

Correction
ff est dérivable sur R−{29}\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{9}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=49x−2f\left(x\right)=\frac{4}{9x-2} sous la forme f(x)=4×19x−2f\left(x\right)=4\times\frac{1}{9x-2}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=9x−2v\left(x\right)=9x-2 et k=4k=4
Ainsi : v′(x)=9v'\left(x\right)=9.
Il vient alors que :
f′(x)=4×−9(9x−2)2f'\left(x\right)=4\times\frac{-9}{\left(9x-2 \right)^{2} }
f′(x)=−36(9x−2)2f'\left(x\right)=\frac{-36}{\left(9x-2 \right)^{2} }
Question 5

f(x)=4sin⁡(x)f\left(x\right)=\frac{4}{\sin \left(x\right)}. On suppose que la fonction ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

Correction
ff est dérivable sur II.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=4sin⁡(x)f\left(x\right)=\frac{4}{\sin \left(x\right)} sous la forme f(x)=4×1sin⁡(x)f\left(x\right)=4\times \frac{1}{\sin \left(x\right)}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=sin⁡(x)v\left(x\right)=\sin\left(x\right) et k=4k=4
Ainsi : v′(x)=cos⁡(x)v'\left(x\right)=\cos\left(x\right).
Il vient alors que :
f′(x)=4×−(cos⁡(x))(sin⁡(x))2f'\left(x\right)=4\times \frac{-\left(\cos \left(x\right)\right)}{\left(\sin\left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=−4cos⁡(x)(sin⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{-4\cos \left(x\right)}{\left(\sin\left(x\right)\right)^{2} }
Ainsi :
f′(x)=−4cos⁡(x)sin⁡2(x)f'\left(x\right)=-\frac{4\cos \left(x\right)}{\sin^{2} \left(x\right)}

Question 6

f(x)=−3−6x+24f\left(x\right)=\frac{-3}{-6x+24}

Correction
ff est dérivable sur R−{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=−3−6x+24f\left(x\right)=\frac{-3}{-6x+24} sous la forme f(x)=−3×1−6x+24f\left(x\right)=-3\times\frac{1}{-6x+24}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=−6x+24v\left(x\right)=-6x+24 et k=−3k=-3
Ainsi : v′(x)=−6v'\left(x\right)=-6.
Il vient alors que :
f′(x)=−3×−(−6)(−6x+24)2f'\left(x\right)=-3\times \frac{-\left(-6\right)}{\left(-6x+24\right)^{2} }
f′(x)=−18(−6x+24)2f'\left(x\right)=\frac{-18}{\left(-6x+24 \right)^{2} }