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Enseignement de spécialité
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Dérivation : Partie enseignement de spécialité
La forme
1
v
\frac{1}{v}
v
1
ou la dérivée de l'inverse - Exercice 3
3 min
10
Soit
f
f
f
la fonction définie et dérivable sur
]
−
∞
;
2
[
\left]-\infty ;2\right[
]
−
∞
;
2
[
par :
f
(
x
)
=
−
6
x
+
3
+
5
2
x
−
4
f\left(x\right)=-6x+3+\frac{5}{2x-4}
f
(
x
)
=
−
6
x
+
3
+
2
x
−
4
5
.
Question 1
Déterminer l'expression de
f
′
f'
f
′
.
Correction
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
e de l’inverse
\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
e de l’inverse
On considère une fonction
v
v
v
dérivable sur un intervalle
I
I
I
alors
(
1
v
)
′
=
−
v
’
v
2
\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
(
v
1
)
′
=
v
2
−
v
’
f
f
f
est dérivable sur
]
−
∞
;
2
[
\left]-\infty ;2\right[
]
−
∞
;
2
[
.
On reconnaît la forme
(
1
v
)
′
=
−
v
′
v
2
\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }
(
v
1
)
′
=
v
2
−
v
′
avec
v
(
x
)
=
2
x
−
4
v\left(x\right)=2x-4
v
(
x
)
=
2
x
−
4
. Ainsi :
v
′
(
x
)
=
2
v'\left(x\right)=2
v
′
(
x
)
=
2
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
−
6
+
5
×
−
2
(
2
x
−
4
)
2
f'\left(x\right)=-6+5\times \frac{-2}{\left(2x-4\right)^{2} }
f
′
(
x
)
=
−
6
+
5
×
(
2
x
−
4
)
2
−
2
f
′
(
x
)
=
−
6
−
10
(
2
x
−
4
)
2
f'\left(x\right)=-6-\frac{10}{\left(2x-4\right)^{2} }
f
′
(
x
)
=
−
6
−
(
2
x
−
4
)
2
10