Étudier les variations d'une fonction comportant un inverse ou un quotient - Exercice 1

10 min
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Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=x+9xf\left(x\right)=x+\dfrac{9}{x}.
Question 1

Calculer f′(x)f'\left(x\right) et montrer que f′(x)=(x−3)(x+3)x2f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x^{2}}.

Correction
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
  • Si vv est dérivable et ne s'annule pas sur II, alors (1v)′=−v′v2\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^{2}}.
f′(x)=1+9×(−1x2)=1−9x2=x2−9x2=(x−3)(x+3)x2f'\left(x\right)=1+9\times\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1-\dfrac{9}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}}=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x^{2}}

On a utilisé l'identité remarquable x2−9=x2−32=(x−3)(x+3)x^{2}-9=x^{2}-3^{2}=\left(x-3\right)\left(x+3\right).
Question 2

Étudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, puis dresser le tableau de variation de ff.

Correction
    Deˊriveˊe et sens de variation\text{\purple{Dérivée et sens de variation}}
  • Si f′f' est positive sur un intervalle II, alors ff est croissante sur II.
  • Si f′f' est négative sur un intervalle II, alors ff est décroissante sur II.
  • Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur.
Pour x>0x\gt 0 : x2>0x^{2}\gt 0 et x+3>0x+3\gt 0. Le signe de f′(x)f'\left(x\right) est donc celui de x−3x-3 : négatif sur ]0;3[\left]0;3\right[, positif sur ]3;+∞[\left]3;+\infty\right[.
Question 3

En déduire le minimum de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[.

Correction
ff décroît puis croît : son minimum est atteint en x=3x=3 et vaut f(3)=3+93=6f\left(3\right)=3+\dfrac{9}{3}=6.

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