Tout ce qu'il faut savoir sur les variables aléatoires et la répétition d'épreuves de Bernoulli

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Une association organise une tombola : $$200$$ billets sont vendus $$2$$ euros chacun. Un billet permet de gagner $$100$$ euros, $$4$$ billets permettent de gagner $$25$$ euros et $$15$$ billets permettent de gagner $$5$$ euros ; les autres billets sont perdants. On achète un billet au hasard et on note $$X$$ le gain algébrique, c'est-à-dire la somme gagnée moins le prix du billet. Déterminer la loi de probabilité de $$X$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Les billets gagnants peuvent rapporter les sommes de $$100$$ ; $$25$$ et $$5$$ euros. Cependant, il ne faut pas oublier l'achat du billet, qui coûte $$2$$ euros.
Les différentes valeurs prises par la variable aléatoire $$X$$ sont donc : $$100-2=98$$ ; $$25-2=23$$ ; $$5-2=3$$ et $$-2$$ (il ne faut pas oublier les billets perdants).
Il y a $$200-1-4-15=180$$ billets perdants.
On est dans un cas d'équiprobabilité. On a donc :
$$P\left(X=98\right)=\dfrac{1}{200}=0{,}005$$ ; $$P\left(X=23\right)=\dfrac{4}{200}=0{,}02$$ ; $$P\left(X=3\right)=\dfrac{15}{200}=0{,}075$$ et enfin $$P\left(X=-2\right)=\dfrac{180}{200}=0{,}9$$
Nous allons donc dresser la loi de probabilité associée à $$X$$ :

On vérifie que la somme des probabilités vaut bien $$1$$ : $$0{,}9+0{,}075+0{,}02+0{,}005=1$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
On reprend la tombola de l'exemple précédent. Calculer la probabilité que le joueur gagne de l'argent, puis la probabilité qu'il gagne au moins $$23$$ euros.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Le joueur gagne de l'argent lorsque $$X\gt 0$$. Il vient alors que :
$$P\left(X\gt 0\right)=P\left(X=3\right)+P\left(X=23\right)+P\left(X=98\right)$$
$$P\left(X\gt 0\right)=0{,}075+0{,}02+0{,}005$$

On peut aussi utiliser l'évènement contraire : $$P\left(X\gt 0\right)=1-P\left(X=-2\right)=1-0{,}9=0{,}1$$.
« Gagner au moins $$23$$ euros » se traduit par $$X\ge 23$$. Il vient alors que :
$$P\left(X\ge 23\right)=P\left(X=23\right)+P\left(X=98\right)=0{,}02+0{,}005$$

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Calculer et interpréter l'espérance de la variable aléatoire $$X$$ de la tombola.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Calculons l'espérance (on peut également considérer que l'espérance est la moyenne) :
$$E\left(X\right)=\left(-2\right)\times 0{,}9+3\times 0{,}075+23\times 0{,}02+98\times 0{,}005$$
$$E\left(X\right)=-1{,}8+0{,}225+0{,}46+0{,}49$$

En moyenne, un joueur perd $$0{,}625$$ euro par billet acheté, soit environ $$63$$ centimes : le jeu est défavorable au joueur. À l'inverse, chaque billet rapporte en moyenne $$0{,}625$$ euro à l'association.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Une urne contient $$10$$ boules indiscernables au toucher : $$3$$ rouges et $$7$$ blanches. On tire une boule au hasard et on considère comme succès l'évènement $$R$$ : « la boule tirée est rouge ».
1) Justifier que cette situation peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre.
2) On note $$Y$$ la variable aléatoire qui vaut $$1$$ si la boule tirée est rouge et $$0$$ sinon. Donner la loi de probabilité de $$Y$$ et son espérance.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) L'expérience aléatoire a deux $$\text{\red{issues}}$$ : « tirer une boule rouge » et « tirer une boule blanche ». C'est donc une épreuve de Bernoulli.
Son paramètre est la probabilité que la boule tirée soit rouge, c'est-à-dire :

2) $$P\left(Y=1\right)=0{,}3$$ et $$P\left(Y=0\right)=1-0{,}3=0{,}7$$. Nous allons donc dresser la loi de probabilité associée à $$Y$$ :

$$E\left(Y\right)=0\times 0{,}7+1\times 0{,}3$$

On retrouve bien que l'espérance est égale au paramètre $$0{,}3$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
On tire successivement et avec remise trois boules dans l'urne de la partie $$4$$, qui contient $$3$$ boules rouges et $$7$$ boules blanches. On note $$X$$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges obtenues.
1) Expliquer pourquoi on peut modéliser les trois tirages par une répétition d'épreuves de Bernoulli, puis construire l'arbre correspondant.
2) Calculer $$P\left(X=2\right)$$.
3) Déterminer la loi de probabilité de $$X$$, puis calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) Un tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la boule est rouge », de paramètre $$p=0{,}3$$. Les tirages se font avec remise : on répète donc, de façon $$\text{\red{identique et indépendante}}$$, $$3$$ épreuves de Bernoulli. On note $$R$$ l'évènement « la boule tirée est rouge ».

2) Nous voulons obtenir $$2$$ boules rouges. Il nous faut donc choisir les chemins qui ont un nombre de succès égal à $$2$$ : ils sont surlignés sur l'arbre ci-dessus. Il y en a $$3$$, et chacun a pour probabilité :
$$0{,}3\times 0{,}3\times 0{,}7=0{,}063$$
Il en résulte donc que :
$$P\left(X=2\right)=3\times 0{,}063$$

3) De la même manière :

• un seul chemin ne comporte aucun succès, donc $$P\left(X=0\right)=0{,}7^{3}=0{,}343$$ ;
• $$3$$ chemins comportent un seul succès, chacun de probabilité $$0{,}3\times 0{,}7^{2}=0{,}147$$, donc $$P\left(X=1\right)=3\times 0{,}147=0{,}441$$ ;
• un seul chemin comporte trois succès, donc $$P\left(X=3\right)=0{,}3^{3}=0{,}027$$.

Nous allons donc dresser la loi de probabilité associée à $$X$$ :

On vérifie que : $$0{,}343+0{,}441+0{,}189+0{,}027=1$$.
Obtenir au moins une boule rouge correspond à l'évènement contraire de « n'obtenir aucune boule rouge ». Il vient alors que :
$$P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0{,}343$$

Enfin, l'espérance de $$X$$ vaut $$E\left(X\right)=0\times 0{,}343+1\times 0{,}441+2\times 0{,}189+3\times 0{,}027=0{,}9$$ : en moyenne, on obtient $$0{,}9$$ boule rouge sur trois tirages.