Calculer une espérance - Exercice 1

Sur les $$150$$ tickets vendus : un seul ticket permet de gagner $$100$$ euros, $$20$$ rapportent $$30$$ euros , $$10$$ rapportent $$15$$ euros et $$5$$ rapportent $$3$$ euros, les autres sont perdants.
Les tickets gagnants peuvent rapporter les sommes de $$100$$; $$30$$; $$15$$ et $$3$$ euros.
Cependant, il ne faut pas oublier l'achat l’achat d’un ticket qui coûte $$3$$ euros.
Les différentes valeurs prises par la variable aléatoire $$X$$ sont donc : $$97$$; $$27$$; $$12$$; $$0$$ et $$-3$$ (Il ne faut pas oublier les tickets perdants) .
On est dans un cas d’équiprobabilité. On a donc :
$$P\left(X=97\right)=\frac{1}{150}$$ ; $$P\left(X=27\right)=\frac{20}{150}$$ ; $$P\left(X=12\right)=\frac{10}{150}$$ ; $$P\left(X=0\right)=\frac{5}{150}$$ et enfin $$P\left(X=-3\right)=\frac{114}{150}$$
Nous allons donc dresser la loi de probabilité associée à $$X$$ :

Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
$$E\left(X\right)=97\times \frac{1}{150} +27\times \frac{20}{150} +12\times \frac{10}{150} +0\times \frac{5}{150} +\left(-3\right)\times \frac{114}{150}$$
$$E\left(X\right)=\frac{83}{30}$$

En moyenne un joueur gagne $$2,77$$ euros à ce jeu de tickets à gratter.