Suites numériques

Suites géométriques - Exercice 2

6 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=4q=4 et de premier terme u0=116u_{0} =\frac{1}{16}.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • Ainsi :
    un+1=un×4u_{n+1} =u_{n}\times4
    Finalement :
    un+1=4unu_{n+1} =4u_{n}

    Question 2

    Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

    Correction
    Nous savons que un+1=4unu_{n+1} =4u_{n} et que u0=116u_{0} =\frac{1}{16} .
  • Calcul de u1u_{1} .
  • u0+1=4×u0u_{0+1} =4\times u_{0}
    u1=4×u0u_{1} =4\times u_{0}
    u1=4×116u_{1} =4\times \frac{1}{16} d'où :
    u1=14u_{1} =\frac{1}{4}
  • Calcul de u2u_{2} .
  • u1+1=4×u1u_{1+1} =4\times u_{1}
    u2=4×u1u_{2} =4\times u_{1}
    u2=4×14u_{2} =4\times \frac{1}{4} d'où :
    u2=1u_{2} =1

    Question 3

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn .
    Nous pouvons également vous poser la question qui aura le même sens : déterminer l'expression du terme général de unu_{n}.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=116u_{0} =\frac{1}{16} et q=4q=4.
    Il en résulte donc que :
    un=116×43nu_{n} =\frac{1}{16}\times43^{n}