Suites arithmétiques - Exercice 5

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Une grande entreprise de voitures est venue s'installer dans une ville. La population de cette ville, qui était de 1212 000000 habitants en 20152015, augmente depuis l'installation de cette entreprise de 450450 habitants par an.
On note u0u_{0} la population en 20152015 et unu_{n} la population nn années plus tard, c’est-à-dire en 2015+n2015+n .
Question 1

Combien y-avait-il d’habitants en 20162016 puis en 20172017 ?

Correction
Nous savons que u0u_{0} correspond à la population en 20152015. Il vient alors que :
  • u1u_{1} correspond à la population en 20162016
  • u2u_{2} correspond à la population en 20172017
    • Chaque année, il y a 450450 nouveaux habitants d'où :
  • u1=u0+450u_{1}=u_{0}+450 c'est à dire u1=12000+450u_{1}=12000+450 d'où :
    u1=12450u_{1}=12450
  • u2=u1+450u_{2}=u_{1}+450 c'est à dire u2=12450+450u_{2}=12450+450 d'où :
    u2=12900u_{2}=12900

    • En 20162016, il y avait 1212 450450 habitants et en 20172017, il y avait 1212 900900 habitants .
    Question 2

    Montrer que la suite est arithmétique ; préciser sa raison et son terme initial.

    Correction
    La population de cette ville augmente chaque année de 450450 habitants.
    Donc on passe du nombre unu_{n} à son suivant le nombre un+1u_{n+1} en ajoutant{\color{blue}\text{ajoutant}} 450450.
    Autrement dit, chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 450450.
    Donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=450r = 450.
    Question 3

    Donner la relation donnant un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.
    Nous pouvons également vous poser la question qui aura le même sens : exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+450u_{n+1} =u_{n} +450

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