Suites numériques

Sens de variation d'une suite géométrique - Exercice 1

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par son premier terme u0=2u_{0}=2 et la relation de récurrence : un+1=un×4u_{n+1}=u_{n}\times4 pour tout entier naturel nn .
Question 1

Démontrer que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique et donner sa raison .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • D'après l'énoncé nous avons : un+1=un×4u_{n+1}=u_{n}\times4 . Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=4{\color{blue}q=4} .
    Question 2

    Donner en le justifiant le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison qq strictement positive et de premier terme strictement positif.
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante\text{\red{croissante}} si q>1q>1 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est deˊcroissante\text{\red{décroissante}} si 0<q<10<q<1 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est constante\text{\red{constante}} si q=1q=1 .
  • La raison q=4>1q=4>1 , la suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) est croissante .
    Question 3

    Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

    Correction
    Nous savons que un+1=4unu_{n+1} =4u_{n} et que u0=2u_{0} =2 .
  • Calcul de u1u_{1} .
  • u0+1=4×u0u_{0+1} =4\times u_{0}
    u1=4×u0u_{1} =4\times u_{0}
    u1=4×2u_{1} =4\times 2 d'où :
    u1=8u_{1} =8
  • Calcul de u2u_{2} .
  • u1+1=4×u1u_{1+1} =4\times u_{1}
    u2=4×u1u_{2} =4\times u_{1}
    u2=4×8u_{2} =4\times 8 d'où :
    u2=32u_{2} =32