Etudier le sens de la variation d’une suite $$(u_{n})$$ à l'aide de $$u_{n+1} -u_{n}$$ - Exercice 4

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} -5$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -5$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-5$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} +7$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} +7$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =7$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} +2$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} +2$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =2$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} -n^{2}$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -n^{2}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-n^{2}$$
On rappelle que $$n$$ est un entier naturel. De plus, un carré est positif ou nul ainsi : $$n^{2}\ge0$$ et de ce fait $$-n^{2}\le0$$
On peut alors coonclure que $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ . Finalement la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$