Probabilités conditionnelles

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

15 min
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On a placé dans une urne des boules de couleurs et numérotées. Les boules sont indiscernables au toucher.
On donne ci-dessous le nombre des boules selon leur couleur et le numéro qu'elles portent.
Question 1
On prélève un jeton au hasard.
On considère les évènements suivants :
  • AA : " La boule est jaune ".
  • BB : " La boule est blanche ".
  • CC : " La boule porte un numéro pair ".

Décrire par une phrase les évènements B‾\overline{B} ; A∩CA\cap C et B∪CB\cup C .

Correction
  • L'évènement B‾\overline{B} est l'évènement contraire (ou complémentaire) de l'évènement BB. Ainsi, l'évènement B‾\overline{B} signifie que la boule n'est pas de couleur blanche.
  • L'évènement A∩CA\cap C correspond à l'évènement : la boule est jaune et{\color{blue}{\text{et}}} porte un numéro pair .
  • L'évènement B∪CB\cup C correspond à l'évènement : la boule est blanche ou{\color{red}{\text{ou}}} porte un numéro pair .
    • Question 2

    Calculer P(A∩C)P\left(A\cap C\right)

    Correction
    Nous avons vu précédemment que l'évènement A∩CA\cap C correspond à l'évènement : la boule est jaune et{\color{blue}{\text{et}}} porte un numéro pair .
    Dans un premier temps, nous allons compléter le tableau avec les lignes indiquant les totaux.
    Il vient :
    D'après ce tableau, nous avons 55 boules jaunes numérotées 44 et 66 boules jaunes numérotées 22.
    Il en résulte donc que :
    P(A∩C)=6+532P\left(A\cap C\right)=\frac{6+5}{32}
    P(A∩C)=1132P\left(A\cap C\right)=\frac{11}{32}

    Question 3

    Calculer P(A)P\left(A\right) et P(C)P\left( C\right)

    Correction
    Nous savons que :
    Soient les évènements suivants :
    • AA : " La boule est jaune ".
    • CC : " La boule porte un numéro pair ".
    D'après le tableau, ci-dessus, nous pouvons lire facilement que :
  • P(A)=1432=716P\left(A\right)=\frac{14}{32}=\frac{7}{16}
  • P(C)=10+1232=2232=1116P\left(C\right)=\frac{10+12}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}
    • Question 4

    Calculer P(A∪C)P\left(A\cup C\right)

    Correction

    Pour tous évènements AA et BB, on a :
    • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
    Il vient que :
    P(A∪C)=P(A)+P(C)−P(A∩C)P\left(A\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap C\right)
    P(A∪C)=1432+2232−1132P\left(A\cup C\right)=\frac{14}{32}+\frac{22}{32}-\frac{11}{32}
    P(A∪C)=2532P\left(A\cup C\right)=\frac{25}{32}