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Probabilités conditionnelles
Exercices types : 2
ème
partie - Exercice 1
15 min
30
On a placé dans une urne des boules de couleurs et numérotées. Les boules sont indiscernables au toucher.
On donne ci-dessous le nombre des boules selon leur couleur et le numéro qu'elles portent.
Question 1
On prélève un jeton au hasard.
On considère les évènements suivants :
A
A
A
: " La boule est jaune ".
B
B
B
: " La boule est blanche ".
C
C
C
: " La boule porte un numéro pair ".
Décrire par une phrase les évènements
B
‾
\overline{B}
B
;
A
∩
C
A\cap C
A
∩
C
et
B
∪
C
B\cup C
B
∪
C
.
Correction
L'évènement
B
‾
\overline{B}
B
est l'évènement contraire (ou complémentaire) de l'évènement
B
B
B
. Ainsi, l'évènement
B
‾
\overline{B}
B
signifie que la boule n'est pas de couleur blanche.
L'évènement
A
∩
C
A\cap C
A
∩
C
correspond à l'évènement : la boule est jaune
et
{\color{blue}{\text{et}}}
et
porte un numéro pair .
L'évènement
B
∪
C
B\cup C
B
∪
C
correspond à l'évènement : la boule est blanche
ou
{\color{red}{\text{ou}}}
ou
porte un numéro pair .
Question 2
Calculer
P
(
A
∩
C
)
P\left(A\cap C\right)
P
(
A
∩
C
)
Correction
Nous avons vu précédemment que l'évènement
A
∩
C
A\cap C
A
∩
C
correspond à l'évènement : la boule est jaune
et
{\color{blue}{\text{et}}}
et
porte un numéro pair .
Dans un premier temps, nous allons compléter le tableau avec les lignes indiquant les totaux.
Il vient :
D'après ce tableau, nous avons
5
5
5
boules jaunes numérotées
4
4
4
et
6
6
6
boules jaunes numérotées
2
2
2
.
Il en résulte donc que :
P
(
A
∩
C
)
=
6
+
5
32
P\left(A\cap C\right)=\frac{6+5}{32}
P
(
A
∩
C
)
=
32
6
+
5
P
(
A
∩
C
)
=
11
32
P\left(A\cap C\right)=\frac{11}{32}
P
(
A
∩
C
)
=
32
11
Question 3
Calculer
P
(
A
)
P\left(A\right)
P
(
A
)
et
P
(
C
)
P\left( C\right)
P
(
C
)
Correction
Nous savons que :
Soient les évènements suivants :
A
A
A
: " La boule est jaune ".
C
C
C
: " La boule porte un numéro pair ".
D'après le tableau, ci-dessus, nous pouvons lire facilement que :
P
(
A
)
=
14
32
=
7
16
P\left(A\right)=\frac{14}{32}=\frac{7}{16}
P
(
A
)
=
32
14
=
16
7
P
(
C
)
=
10
+
12
32
=
22
32
=
11
16
P\left(C\right)=\frac{10+12}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}
P
(
C
)
=
32
10
+
12
=
32
22
=
16
11
Question 4
Calculer
P
(
A
∪
C
)
P\left(A\cup C\right)
P
(
A
∪
C
)
Correction
Pour tous évènements
A
A
A
et
B
B
B
, on a :
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
Il vient que :
P
(
A
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
∩
C
)
P\left(A\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap C\right)
P
(
A
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
∩
C
)
P
(
A
∪
C
)
=
14
32
+
22
32
−
11
32
P\left(A\cup C\right)=\frac{14}{32}+\frac{22}{32}-\frac{11}{32}
P
(
A
∪
C
)
=
32
14
+
32
22
−
32
11
P
(
A
∪
C
)
=
25
32
P\left(A\cup C\right)=\frac{25}{32}
P
(
A
∪
C
)
=
32
25