Probabilités conditionnelles

Exercices types : 1ère partie - Exercice 4

20 min
40
Toujours une histoire de Bac.
Une section de seconde comporte 130130 élèves. On donne les informations suivantes :
Question 1
On note :
  • SS l'événement : « avoir le bac sans mention »
  • BB l'événement : « avoir le bac avec mention bien »
  • TT l'événement : « avoir le bac avec mention très bien »
  • FF l'événement : « être une fille »

Calculer la probabilité de l'évènement SS.

Correction
p(S)=nombre des issues favorables pour Snombre des issues possiblesp\left(S\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }S}{\text{nombre des issues possibles}}
p(S)=65130p\left(S\right)=\frac{65}{130}
p(S)=12p\left(S\right)=\frac{1}{2}

Question 2

Calculer la probabilité de l'évènement TT.

Correction
p(T)=nombre des issues favorables pour Tnombre des issues possiblesp\left(T\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }T}{\text{nombre des issues possibles}}
p(T)=10130p\left(T\right)=\frac{10}{130}
p(T)=113p\left(T\right)=\frac{1}{13}
Question 3

Définir par une phrase l'évènement F‾∩B\overline{F}\cap B. Calculer la probabilité de cet évènement.

Correction
F‾∩B\overline{F}\cap B correspond à l'événement : « être un garçon et avoir le bac avec mention ».
p(F‾∩B)=nombre des issues favorables pour F‾∩Bnombre des issues possiblesp\left(\overline{F}\cap B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }\overline{F}\cap B}{\text{nombre des issues possibles}}
p(F‾∩B)=34130p\left(\overline{F}\cap B\right)=\frac{34}{130}
p(F‾∩B)=1765p\left(\overline{F}\cap B\right)=\frac{17}{65}
Question 4

Définir par une phrase l'évènement F‾∪B\overline{F}\cup B. Calculer la probabilité de cet évènement.

Correction
F‾∪B\overline{F}\cup B correspond à l'événement : « être un garçon ou avoir le bac sans mention ».
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P(F‾∪B)=P(F‾)+P(B)−P(F‾∩B)P\left(\overline{F}\cup B\right)=P\left(\overline{F}\right)+P\left(B\right)-P\left(\overline{F}\cap B\right) équivaut successivement à :
P(F‾∪B)=70130+65130−34130P\left(\overline{F}\cup B\right)=\frac{70}{130}+\frac{65}{130}-\frac{34}{130}
P(F‾∪B)=101130P\left(\overline{F}\cup B\right)=\frac{101}{130}
Question 5

Sachant que la personne a eu un bac mention bien, quelle est la probabilité que la personne soit un garçon?

Correction
Nous savons que
  • FF l'événement : « être une fille »
    • Nous noterons alors :
  • H‾\overline{H} l'événement : « être un garçon »
    • Sachant que la personne a eu un bac mention bien, quelle est la probabilité que la personne soit un garçon correspond à une probabilité conditionnelle que l'on va écrire : PB(H‾)P_{B} \left(\overline{H}\right)
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PB(H‾)=P(H‾∩B)P(B)P_{B} \left(\overline{H}\right)=\frac{P\left(\overline{H}\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    PB(H‾)=3455P_{B} \left(\overline{H}\right)=\frac{34}{55}