Fonctions polynômes de degré 2

Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 3

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=12(x+5)(x3)f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(x-3\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
12(x+5)(x3)=0-\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x+5=0x+5=0 ou\text{\red{ou}} x3=0x-3=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x+5=0x+5=0
x=5x=-5
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x3=0x-3=0
x=3x=3
Les points cherchés ont pour coordonnées (5;0)\left(-5;0\right) et (3;0)\left(3;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=12(x+5)(x3)f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(x-3\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=5x_1=-5 et x2=3x_2=3 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=5+32x=\frac{-5+3}{2}
x=22x=-\frac{2}{2}
x=1x=-1

L'équation de cet axe de symétrie est : x=1x=-1 .
Question 3

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 1-1 et son ordonnée vaut : f(1)=12×(1+5)×(13)f\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\times\left(-1+5\right)\times\left(-1-3\right)
f(1)=12×4×(4)f\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\times4\times\left(-4\right)
f(1)=8f\left(-1\right)=8

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (1;8)\left(-1;8\right)
Question 4

Tracer la parabole C\mathscr{C} et son axe de symétrie .

Correction
Question 5

Donner le tableau de variation de la fonction ff .

Correction
D'après la question 33, nous savons que le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (1;8)\left(-1;8\right)
  • La fonction ff est alors croissante sur l'intervalle ];1]\left]-\infty;-1\right]
  • La fonction ff est alors décroissante sur l'intervalle [1;+[\left[-1;+\infty\right[
  • On en déduit le tableau de variation ci-dessous :
    Question 6

    Déterminer graphiquement le signe de la fonction ff .

    Correction
    D'après la représentation graphique faite à la question 44, nous pouvons lire que :
  • Si x];5]x\in \left]-\infty;-5\right] alors ff est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est négative.
  • Si x[5;3]x\in \left[-5;3\right] alors ff est en-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est positive.
  • Si x[3;+]x\in \left[3;+\infty\right] alors ff est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est négative.
  • Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signe de la fonction ff.