Fonctions polynômes de degré 2

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

10 min
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Question 1

Vérifier que −4-4 est une racine de la fonction de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2+6x−8f\left(x\right)=2x^{2}+6x-8 .

Correction
Soit x1x_{1} un réel.
Soit f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c un polynôme de degré 22.
x1x_{1} est une racine\red{\text{racine}} de ff si et seulement si f(x1)=0f\left(x_{1}\right)=0 .
Soit f(x)=2x2+6x−8f\left(x\right)=2x^{2}+6x-8
Il nous faut donc calculer f(−4)f\left(-4\right)
f(−4)=2×(−4)2+6×(−4)−8f\left(-4\right)=2\times \left(-4\right)^{2} +6\times \left(-4\right)-8
f(−4)=2×16−24−8f\left(-4\right)=2\times 16-24-8
f(−4)=32−24−8f\left(-4\right)=32-24-8
D'où :
f(−4)=0f\left(-4\right)=0

Il s'agit de la première racine de ff que nous allons noter x1=−4x_{1}=-4 .
Question 2

Sachant que l'axe de symétrie de la parabole représentant ff a pour équation x=−32x=-\frac{3}{2}, déterminer l'autre racine de ff .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) où aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a≠0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=2x2+6x−8f\left(x\right)=2x^{2}+6x-8 . D'après la question précédente, nous savons que x1=−4x_1=-4 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} et l'énoncé nous indique que l'axe de symétrie de la parabole représentant ff a pour équation x=−32x=-\frac{3}{2}
Il vient alors :
−32=−4+x22-\frac{3}{2}=\frac{-4+x_2}{2} . L'objectif ici est de déterminer la deuxième racine x2x_2 de ff et pour cela nous allons résoudre l'équation.
−4+x22=−32\frac{-4+x_{2} }{2} =-\frac{3}{2}
−4+x2=−32×2-4+x_{2} =-\frac{3}{2} \times 2
−4+x2=−3-4+x_{2} =-3
x2=−3+4x_{2} =-3+4
Ainsi :
x2=1x_{2} =1

L'autre racine de ff est alors 11 .