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Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

30 min
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Soit ff la fonction définie sur [0;7]\left[0;7\right] par f(x)=(x1)(x6)f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-6\right) . La représentation graphique de la fonction ff, notée Cf\mathscr{C_f} , est donnée ci-dessous :
Question 1

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=4f\left(x\right)=-4 .

Correction
Résoudre f(x)=4f\left(x\right)=-4 peut également se traduire par déterminer les antécédents de 4-4 .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe Cf\mathscr{C_{f}} et la droite horizontale y=4y = -4.
La droite d'équation y=4y=-4 coupe la courbe Cf\mathscr{C_{f}} aux points d'abscisses respectives 22 et 55 .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=4f\left(x\right)=-4 est
S={2;5}S=\left\{2;5\right\}
Question 2

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=6f\left(x\right)=-6 .

Correction
Résoudre f(x)=6f\left(x\right)=-6 peut également se traduire par déterminer les antécédents de 6-6 .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe Cf\mathscr{C_{f}} et la droite horizontale y=6y = -6.
La droite d'équation y=6y=-6 coupe la courbe Cf\mathscr{C_{f}} aux points d'abscisses respectives 33 et 44 .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=6f\left(x\right)=-6 est
S={3;4}S=\left\{3;4\right\}
Question 3

Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .

Correction
Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 revient à déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.
Ainsi :
(x1)(x6)=0\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x1=0x-1=0 ou\text{\red{ou}} x6=0x-6=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x1=0x-1=0
x=1x=1
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x6=0x-6=0
x=6x=6
Les points cherchés ont pour coordonnées (1;0)\left(1;0\right) et (6;0)\left(6;0\right)
Question 4

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=(x1)(x6)f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-6\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=1x_1=1 et x2=6x_2=6 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=1+62x=\frac{1+6}{2}
x=72x=\frac{7}{2}

Question 5

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 72\frac{7}{2} et son ordonnée vaut f(72)=(721)×(726)f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-1\right)\times\left(\frac{7}{2}-6\right)
f(72)=(7222)×(72122)f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-\frac{2}{2}\right)\times\left(\frac{7}{2}-\frac{12}{2}\right)
f(72)=(52)×(52)f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\times\left(-\frac{5}{2}\right)
f(72)=254=6,25f\left(\frac{7}{2}\right)=-\frac{25}{4}=-6,25

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (72;254)\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right)
Question 6

Résoudre graphiquement f(x)<0f\left(x\right)<0 .

Correction
On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite d'équation y=0y=0 qui correspond ici à l’axe des abscisses.
  • Sur l'intervalle ]1;6[\left]1;6\right[, la courbe représentative de la fonction ff est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses.
  • L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0f\left(x\right)<0 est l'intervalle :
    S=]1;6[S=\left]1;6\right[
    Question 7

    Dresser le tableau de signe de f(x)f\left(x\right) lorsque xx varie dans [0;7]\left[0;7\right] .

    Correction
    D'après le graphique ci-dessous, on peut affirmer que :
  • La fonction ff est au-dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles [0;1][6;7]\left[0;1\right]\cup \left[6;7\right]
  • La fonction ff est en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [1;6]\left[1;6\right]
  • Nous allons traduire ses données dans un tableau de signe :
    Question 8

    Dresser le tableau de variation de ff .

    Correction
    D'après la quesion 55, le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (72;254)\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right) .
    Il en résulte donc que :
  • La fonction ff est décroissante sur l'intervalle [0;72]\left[0;\frac{7}{2}\right]
  • La fonction ff est croissante sur l'intervalle [72;7]\left[\frac{7}{2};7\right]
  • Nous traduisons cela dans un tableau de variation :
    Question 9

    Dans quel intervalle varie f(x)f\left(x\right) lorsque xx varie dans [0;7]\left[0;7\right] .

    Correction
    D'après la question 88, lorsque xx varie dans [0;7]\left[0;7\right] alors la fonction ff admet un maximum qui vaut 66 et un minimum qui vaut 254-\frac{25}{4} .
    Il en résulte donc que lorsque xx varie dans [0;7]\left[0;7\right] alors f(x)f\left(x\right) sur l'intervalle [254;6]\left[-\frac{25}{4};6\right] .