Fonctions polynômes de degré 2

Etudier du signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) - Exercice 1

20 min
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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=2(x+4)(x−5)f\left(x\right)=2\left(x+4\right)\left(x-5\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x+4=0⇔x=−4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit x↦x+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−5=0⇔x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit x↦x−5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−5x-5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−5(x−2)(x−9)f\left(x\right)=-5\left(x-2\right)\left(x-9\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−2=0⇔x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit x↦x−2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−2x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−9=0⇔x=9x-9=0\Leftrightarrow x=9
    Soit x↦x−9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−9x-9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −5-5 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −5-5.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=3(x−6)(x+8)f\left(x\right)=3\left(x-6\right)\left(x+8\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−6=0⇔x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6
    Soit x↦x−6x\mapsto x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−6x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x+8=0⇔x=−8x+8=0\Leftrightarrow x=-8
    Soit x↦x+8x\mapsto x+8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+8x+8 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−8x=-8 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 33 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 33.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=−6(x+7)(x−1)f\left(x\right)=-6\left(x+7\right)\left(x-1\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x+7=0⇔x=−7x+7=0\Leftrightarrow x=-7
    Soit x↦x+7x\mapsto x+7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+7x+7 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−7x=-7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −6-6 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −6-6.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :