Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer les réels aa et bb dans les fonctions de la forme xax2+bx\mapsto ax^{2}+b - Exercice 1

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bf\left(x\right)=ax^{2}+b .
Question 1

Déterminer la valeur de aa et bb sachant que f(0)=1f\left(0\right)=1 et f(2)=13f\left(2\right)=13.

Correction
L'information f(0)=1f\left(0\right)=1 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax2+bf\left(x\right)=ax^{2} +b . Cela nous donne :
f(0)=1f\left(0\right)=1 qui va s'écrire a×02+b=1a\times 0^{2} +b=1 ainsi 0+b=10 +b=1 d'où b=1b=1 .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax2+1f\left(x\right)=ax^{2} +1
Nous allons maintenant utiliser l'information f(2)=13f\left(2\right)=13.
Comme f(2)=13f\left(2\right)=13 alors a×22+1=3a \times 2^{2} +1=3 ainsi a×4+1=13a\times4 +1=13 d'où 4a+1=134a+1=13 ce qui donne 4a=124a=12 .
Finalement : a=124=3a=\frac{12}{4}=3
Il en résulte donc que :
f(x)=3x2+1f\left(x\right)=3x^{2} +1