Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 1

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$2\left(x-4\right)\left(x-6\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-4=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x-6=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-4=0$$
$$x=4$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x-6=0$$
$$x=6$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(4;0\right)$$ et $$\left(6;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=2\left(x-4\right)\left(x-6\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=4$$ et $$x_2=6$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{4+6}{2}$$
$$x=\frac{10}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$5$$ et son ordonnée vaut $$f\left(5\right)=2\times\left(5-4\right)\times\left(5-6\right)$$
$$f\left(5\right)=2\times1\times\left(-1\right)$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(5;-2\right)$$