Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer l'axe de symétrie d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 2

10 min
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Question 1

Vérifier que 22 est une racine de la fonction de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x23x6f\left(x\right)=3x^{2}-3x-6 .

Correction
Soit x1x_{1} un réel.
Soit f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c un polynôme de degré 22.
x1x_{1} est une racine\red{\text{racine}} de ff si et seulement si f(x1)=0f\left(x_{1}\right)=0 .
Soit f(x)=3x23x6f\left(x\right)=3x^{2}-3x-6
Il nous faut donc calculer f(2)f\left(2\right)
f(2)=3×223×26f\left(2\right)=3\times 2^{2} -3\times 2-6
f(2)=3×466f\left(2\right)=3\times 4 -6-6
f(2)=1266f\left(2\right)=12 -6-6
D'où :
f(2)=0f\left(2\right)=0

Il s'agit de la première racine de ff que nous allons noter x1=2x_{1}=2 .
Question 2

Sachant que l'axe de symétrie de la parabole représentant ff a pour équation x=12x=\frac{1}{2}, déterminer l'autre racine de ff .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=3x23x6f\left(x\right)=3x^{2}-3x-6 . D'après la question précédente, nous savons que x1=2x_1=2 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} et l'énoncé nous indique que l'axe de symétrie de la parabole représentant ff a pour équation x=12x=\frac{1}{2}
Il vient alors :
12=2+x22-\frac{1}{2}=\frac{2+x_2}{2} . L'objectif ici est de déterminer la deuxième racine x2x_2 de ff et pour cela nous allons résoudre l'équation.
2+x22=12\frac{2+x_{2} }{2} =\frac{1}{2}
2+x2=12×22+x_{2} =\frac{1}{2} \times 2
2+x2=12+x_{2} =1
x2=12x_{2} =1-2
Ainsi :
x2=1x_{2} =-1

L'autre racine de ff est alors 1-1 .