Exercices types DS - Exercice 1

La valeur initiale $$V_{0}$$ vaut ici $$800$$.
La valeur finale $$V_{1}$$ vaut ici $$920$$.
Il vient alors que :
$$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$$ équivaut successivement à :
$$t=\frac{920-800 }{800 }\times100$$

Le prix du téléphone a donc augmenté de 15% entre le 1^er septembre et le 1^er novembre.

D'après la question 1, nous savons que le prix du téléphone a augmenté de 15% entre le 1^er septembre et le 1^er novembre.
De plus, entre le 1^er novembre et le 1^er février, le téléphone a augmenté de 5%.

Soit $$t$$ le taux global d'évolution recherché.

• Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 15% est : $$1+\frac{15}{100}=1,15$$
• Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 5% est : $$1+\frac{5}{100}=1,05$$

Il en résulte donc que :
$$1+\frac{t}{100} =1,15\times 1,05$$
$$1+\frac{t}{100} =1,2075$$
$$\frac{t}{100} =1,2075-1$$
$$\frac{t}{100} =0,2075$$
$$t=0,2075\times 100$$

Le taux d’évolution global est de $$t=$$ 20,75% , c'est-à-dire qu'une augmentation de 15% suivi d'une deuxième de 5% correspond à une augmentation globale de 20,75%.

D'après la question 2, nous savons que le téléphone a augmenté de 20,75% entre le 1^er septembre et le 1^er février.
Nous cherchons donc ici le taux d'évolution réciproque afin de revenir au prix initial du 1^er septembre.

Soit $$t'$$% l'évolution réciproque d'une augmentation de 20,75%.
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de $$20,75$$ est : $$1+\frac{20,75}{100}$$
Pour trouver la valeur de $$t'$$%, il nous faut donc résoudre l'équation : $$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$$.
Ainsi :
$$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{20,75}{100} }$$
$$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,2075}$$
$$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,2075 }$$
$$1+\frac{t'}{100} \approx0,828$$
$$\frac{t'}{100} =0,828-1$$
$$\frac{t'}{100} =-0,172$$
$$t' =-0,172\times100$$

Si un prix augmente de 20,75% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 17,2 %.