Développement
Définition
- Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.
Propriétés
Distributivité de la multiplication sur l'addition
Propriété
Pour tous réels
a,
b et
k, on a :
- k×(a+b)=k×a+k×b que l'on peut aussi écrire k(a+b)=ka+kb
Exemple : Développer puis réduire l’expression
A(x)=3(5+2x)
A(x)=3(5+2x)
A(x)=3×5+3×2x
Ainsi :
A(x)=15+6x
Double distributivité
Propriété
Pour tous réels
a,
b ,
c et
d, on a :
- k×(a+b)=k×a+k×b que l'on peut aussi écrire k(a+b)=ka+kb
- (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d que l'on peut aussi écrire (a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd
Exemple : Développer puis réduire l’expression
B(x)=(2x+3)(4x+5)
B(x)=(2x+3)(4x+5)
B(x)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5
B(x)=8x2+10x+12x+15
Ainsi :
B(x)=8x2+22x+15
Exemple : Développer puis réduire l’expression
C(x)=(3x−4)(2x+1)
C(x)=3x×2x+3x×1+(−4)×2x+(−4)×1
C(x)=6x2+3x−8x−4
C(x)=6x2−5x−4
Ainsi :
C(x)=6x2−5x−4
Les identités remarquables
Développer à l'aide de l'identité remarquable (a+b)2
Définition
- Pour tous réels a et b, on a : (a+b)2=a2+2ab+b2
Exemple : Développer puis réduire l’expression
D(x)=(3x+4)2
Ici nous avons
a=3x et
b=4.
D(x)=(3x+4)2 équivaut successivement à :
D(x)=(3x)2+2×3x×4+42
Ainsi :
D(x)=9x2+24x+16
Développer à l'aide de l'identité remarquable (a−b)2
Définition
- Pour tous réels a et b, on a : (a−b)2=a2−2ab+b2
Exemple : Développer puis réduire l’expression
E(x)=(x−5)2
Ici nous avons
a=x et
b=5.
E(x)=(x−5)2 équivaut successivement à :
E(x)=x2−2×x×5+52
Ainsi :
E(x)=x2−10x+25
Développer à l'aide de l'identité remarquable (a−b)(a+b)
Définition
- Pour tous réels a et b, on a : (a−b)(a+b)=a2−b2
Exemple : Développer puis réduire l’expression
F(x)=(5x−2)(5x+2)
Ici nous avons
a=5x et
b=2.
F(x)=(5x−2)(5x+2)
F(x)=(5x)2−(2)2
Ainsi :
F(x)=25x2−4