Variables aléatoires

Sujet 1 - Exercice 1

12 min
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Question 1
65%65\% des élèves en première dans un lycée ont un Iphone. On constitue au hasard un échantillon de 33 élèves de ce lycée. On suppose que le nombre d’élèves est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à celui de trois tirages successifs avec remise. La variable aléatoire XX comptabilise le nombre d'élève ayant un IPhone dans l'échantillon.

Etablir l'arbre correspondant à la situation.

Correction
  • Une épreuve de Bernoulli de paramètre pp est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues\text{\red{issues}}.
    • L’expérience aléatoire a deux issues\text{\red{issues}} : « Avoir un IPhone » et « Ne pas avoir d'IPhone ». C’est donc une épreuve de Bernoulli.
    Son paramètre est la probabilité que l'élève possède un IPhone c'est à dire p=0,65p=0,65
    Cela signifie que choisir un élève possédant un IPhone est une épreuve de Bernoulli.
    On effectue trois tirages. On répète, donc, de façon identique et indeˊpendante\text{\red{identique et indépendante}} 33 épreuves de Bernoulli.
    Question 2

    Calculer P(X=0)P\left(X=0\right) et donner une valeur approchée à 10−210^{-2} près .

    Correction
    L'évènement avoir 00 IPhone correspond à l'évènement I‾  I‾  I‾\overline{I}\;\overline{I}\;\overline{I} . Il n'y a qu'un seul chemin possible, le chiffre 00 a été mis en violet pour nous indiquer le chemin que nous avons pris.
    Ainsi :
    P(X=0)=P(I‾  I‾  I‾)P\left(X=0\right)=P\left(\overline{I}\;\overline{I}\;\overline{I}\right)
    P(X=0)=P(I‾)×P(I‾)×P(I‾)P\left(X=0\right)=P\left(\overline{I}\right)\times P\left(\overline{I}\right)\times P\left(\overline{I}\right)
    P(X=0)=0,35×0,35×0,35P\left(X=0\right)=0,35\times 0,35\times 0,35
    P(X=0)=0,353P\left(X=0\right)=0,35^{3}
    D'où :
    P(X=0)≈0,043P\left(X=0\right)\approx0,043

    Question 3

    Calculer P(X=1)P\left(X=1\right) et donner une valeur approchée à 10−210^{-2} près .

    Correction
    L'évènement avoir 11 IPhone correspond à l'évènement I  I‾  I‾I\;\overline{I}\;\overline{I} ou I‾  I  I‾\overline{I}\;I\;\overline{I} et enfin I‾  I‾  I\overline{I}\;\overline{I}\;I. Il y a donc trois chemins possibles. Le chiffre 11 a été mis en violet pour nous indiquer les chemins que nous avons pris. La probabilité de chaque chemin est égale.
    Ainsi :
    P(X=1)=P(I  I‾  I‾)+P(I‾  I  I‾)+P(I‾  I‾  I)P\left(X=1\right)=P\left(I\;\overline{I}\;\overline{I}\right)+P\left(\overline{I}\;I\;\overline{I}\right)+P\left(\overline{I}\;\overline{I}\;I\right)
    P(X=1)=0,651×0,352+0,651×0,352+0,651×0,352P\left(X=1\right)=0,65^1\times 0,35^2+0,65^1\times 0,35^2+0,65^1\times 0,35^2
    P(X=1)=3×0,651×0,352P\left(X=1\right)=3\times0,65^1\times 0,35^2
    D'où :
    P(X=1)≈0,239P\left(X=1\right)\approx0,239
    Question 4

    Calculer P(X<2)P\left(X<2\right) et donner une valeur approchée à 10−210^{-2} près .

    Correction
    P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)P\left(X<2\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)
    P(X<2)≈0,043+0,239P\left(X<2\right)\approx 0,043+0,239
    P(X<2)≈0,282P\left(X<2\right)\approx 0,282