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Sujet 2 - Exercice 1

30 min
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Question 1
Lise a créé une page sur un réseau social pour partager des photos de voyage. D’après les statistiques de fréquentation des premières semaines, elle considère qu’on peut modéliser l’évolution du nombre de personnes intéressées par ses photos par une augmentation de 8%8\% chaque semaine.
Au moment de la création de la page, le nombre de personnes intéressées était de 150.150. On note u(n)u(n) le nombre de personnes intéressées par les photos, selon le modèle considéré par Lise, nn semaines après la création de la page. Les premières valeurs, arrondies à l’unité, de la suite uu ainsi définie sont données dans le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul.

Calculer la valeur de u(4)u(4). Arrondir à l’unité.

Correction
Chaque semaine, nous constatons une augmentation de 8%8\% . Cela fait donc référence au coefficient multiplicateur 1+8100=1,081+\frac{8}{100}=1,08
Il en résulte donc que :
u(4)=1,08×u(3)u(4)=1,08\times u(3) . Or d'après le tableau ci-dessus, on peut lire que u(3)=189u(3)=189 . Ainsi :
u(4)=1,08×189u(4)=1,08\times 189 . Or 1,08×189=204,121,08\times 189=204,12
Nous vooulons un arrondi à l'unité.
D'où :
u(4)=204u(4)=204

Question 2

Quelle formule, destinée à être recopiée vers la droite, peut-on saisir dans la cellule C2C2 pour obtenir les valeurs de la suite uu ?

Correction
Nous remarquons que chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,081,08. Il en résulte donc :
C2=1,08×C1C2=1,08\times C1
Question 3

Quelle est la nature de la suite uu ? Justifier.

Correction
Chaque semaine, l'évolution du nombre de personnes est modélisé par une augmentation de 8%8\%. On multiplie donc chaque semaine le nombres de personnes intéressés par le coefficient multiplicateur q=1+8100=1,08q=1+\frac{8}{100}=1,08 .
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,081,08.
Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,08q=1,08
Question 4

Recopier et compléter le script ci-dessous de la fonction python nommée nombre intéressés renvoyant la valeur u(n)u(n) pour un entier naturel nn choisi au départ.

Correction
def nombre_interesses(n)\left(n\right)
   u=150u=\red{150}
   for ii in range(n)\left(n\right)
           u=1,08×uu=\red{1,08\times u}
return nn
Question 5
Ali a démarre en même temps que Lise le partage de photos de ses propres voyages. Pour les premières semaines, il a représenté sur le graphique ci-contre le nombre v(n)v(n) de personnes intéressées par ses photos n semaines après la création de la page. On considère que l’évolution du nombre de personnes intéressées se poursuit de la même façon.

Pourquoi peut-on conjecturer que la suite vv est arithmétique ?

Correction
  • Si la représentation graphique d’une suite est un nuage de points alignés, alors la suite est arithmétique.
    • Dans notre situation, nous voyons bien que les points sont alignés.
    Nous pouvons conjecturer que la suite v(n)v(n) est une suite arithmétique.
    Question 6
    On admet que vv est arithmétique et on donne les deux premiers termes de la suite vv dans le tableau ci-dessous :

    Ecrire une relation entre v(n+1)v(n+1) et v(n)v(n) pour tout entier naturel nn et calculer les valeurs manquantes du tableau.

    Correction
    D'après l'énoncé, il est admit que la suite v(n)v(n) est arithmétique. D'après le tableau nous connaissons les valeurs de v(0)v(0) et v(1)v(1).
    Donc v(0)=190v(0)=190 et v(1)=198v(1)=198
    Si nous calculons v(1)−v(0)v(1)-v(0) nous obtiendrons la raison de la suite arithmétique.
    Ainsi :
    v(1)−v(0)=198−190=8v(1)-v(0)=198-190=8 . La raison de la suite arithémtique est alors r=8r=8 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    vn+1=vn+8v_{n+1} =v_{n} +8

    Nous connaissons v(1)v(1) et la raison r=8r=8. Nous allons maitenant pouvoir calculer les termes suivants :
  • v2=v1+8v_{2} =v_{1} +8 donc v2=198+8v_{2} =198 +8 ainsi v2=206v_{2} =206
  • v3=v2+8v_{3} =v_{2} +8 donc v3=206+8v_{3} =206 +8 ainsi v3=214v_{3} =214
  • v4=v3+8v_{4} =v_{3} +8 donc v4=214+8v_{4} =214 +8 ainsi v4=222v_{4} =222
    • Ci-dessous le tableau complété :
    Question 7

    Est-il possible qu’a un moment donné, il y ait davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d’Ali ?

    Correction
    A l'aide du tableau ci-dessous, nous voyons qu'à partir de la semaine 77, il y aura davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d'Ali.

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