Suites numériques

Suites arithmétiques - Exercice 6

16 min
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On place un capital de C0=2000C_{0} = 2000 euros, à la banque, qui rapporte 7070 euros d’intérêts par an. On note CnC_{n} le capital obtenu au bout de nn années.
Question 1

Calculer C1C_{1} et C2C_{2} .

Correction
Nous savons que C0C_{0} correspond au capital à l'instant initial. Il vient alors que :
  • C1C_{1} correspond au capital à la fin de la première année.
  • C2C_{2} correspond au capital à la fin de la deuxième année.
  • Chaque année, le placement rapporte 7070 euros d'où :
  • C1=C0+70C_{1}=C_{0}+70 c'est à dire C1=2000+70C_{1}=2000+70 d'où :
    C1=2070C_{1}=2070
  • C2=C1+70C_{2}=C_{1}+70 c'est à dire C2=2070+70C_{2}=2070+70 d'où :
    C2=2140C_{2}=2140

  • Question 2

    Montrer que la suite est arithmétique ; préciser sa raison et son terme initial.

    Correction
    Le placement augmente chaque année de 7070 euros.
    Donc on passe du nombre CnC_{n} à son suivant le nombre Cn+1C_{n+1} en ajoutant{\color{blue}\text{ajoutant}} 7070.
    Autrement dit, chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 7070.
    Donc la suite (Cn)\left(C_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=70r = 70, et de premier terme C0=2  000C_{0}=2\;000.
    Question 3

    Donner la relation donnant Cn+1C_{n+1} en fonction de CnC_{n}.
    Nous pouvons également vous poser la question qui aura le même sens : exprimer Cn+1C_{n+1} en fonction de CnC_{n}.

    Correction
    Soit (Cn)\left(C_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de Cn+1C_{n+1} en fonction de CnC_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : Cn+1=Cn+rC_{n+1} =C_{n} +rrr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
  • Ainsi :
    Cn+1=Cn+70C_{n+1} =C_{n} +70