Suites numériques

Sens de variation d'une suite géométrique - Exercice 3

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par son premier terme u0=17u_{0}=\frac{1}{7} et la relation de récurrence : un+1=un×6u_{n+1}=u_{n}\times6 pour tout entier naturel nn .
Question 1

Démontrer que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique et donner sa raison .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après l'énoncé nous avons : un+1=un×6u_{n+1}=u_{n}\times6 . Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=6{\color{blue}q=6} .
    Question 2

    Donner en le justifiant le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison qq strictement positive et de premier terme strictement positif.
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante\text{\red{croissante}} si q>1q>1 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est deˊcroissante\text{\red{décroissante}} si 0<q<10<q<1 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est constante\text{\red{constante}} si q=1q=1 .
    • La raison q=6>1q=6>1 , la suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) est croissante .