Suites numériques

Manipulations des indices - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Question 1
Soit nn un entier naturel.
Pour chacune des suites suivantes, exprimer un1u_{n-1} ; un+1u_{n+1} et u2nu_{2n}

un=4n+6u_{n}=4n+6

Correction
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}} Pour calculer un1u_{n-1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n1n-1 .
Il vient alors que :
un1=4×(n1)+6u_{\red{n-1}}=4\times\left(\red{n-1}\right)+6
un1=4n4+6u_{n-1} =4n-4+6
un1=4n+2u_{n-1} =4n+2

Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Pour calculer un+1u_{n+1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n+1n+1 .
Il vient alors que :
un+1=4×(n+1)+6u_{{\color{blue}{n+1}}}=4\times\left({\color{blue}{n+1}}\right)+6
un+1=4n+4+6u_{n+1} =4n+4+6
un+1=4n+10u_{n+1} =4n+10

Troisieˋmement :\purple{\text{Troisièmement :}} Pour calculer u2nu_{2n}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des 2n2n .
Il vient alors que :
u2n=4×2n+6u_{\pink{2n}}=4\times\pink{2n}+6
u2n=8n+6u_{2n} =8n+6
Question 2

un=2n+3u_{n}=-2n+3

Correction
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}} Pour calculer un1u_{n-1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n1n-1 .
Il vient alors que :
un1=2×(n1)+3u_{\red{n-1}}=-2\times\left(\red{n-1}\right)+3
un1=2n+2+3u_{n-1} =-2n+2+3
un1=2n+5u_{n-1} =-2n+5

Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Pour calculer un+1u_{n+1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n+1n+1 .
Il vient alors que :
un+1=2×(n+1)+3u_{{\color{blue}{n+1}}}=-2\times\left({\color{blue}{n+1}}\right)+3
un+1=2n2+3u_{n+1} =-2n-2+3
un+1=2n+1u_{n+1} =-2n+1

Troisieˋmement :\purple{\text{Troisièmement :}} Pour calculer u2nu_{2n}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des 2n2n .
Il vient alors que :
u2n=2×2n+3u_{\pink{2n}}=-2\times\pink{2n}+3
u2n=4n+3u_{2n} =-4n+3
Question 3

un=n25n+7u_{n}=n^{2}-5n+7

Correction
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}} Pour calculer un1u_{n-1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n1n-1 .
Il vient alors que :
un1=(n1)25(n1)+7u_{\red{n-1}} =\left(\red{n-1}\right)^{2} -5\left(\red{n-1}\right)+7
un1=n22n+15n+5+7u_{n-1} =n^{2} -2n+1-5n+5+7
un1=n27n+13u_{n-1} =n^{2} -7n+13

Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Pour calculer un+1u_{n+1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n+1n+1 .
Il vient alors que :
un+1=(n+1)25(n+1)+7u_{{\color{blue}{n+1}}} =\left({\color{blue}{n+1}}\right)^{2} -5\left({\color{blue}{n+1}}\right)+7
un+1=n2+2n+15n5+7u_{n+1} =n^{2} +2n+1-5n-5+7
un+1=n23n+3u_{n+1} =n^{2} -3n+3

Troisieˋmement :\purple{\text{Troisièmement :}} Pour calculer u2nu_{2n}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des 2n2n .
Il vient alors que :
u2n=(2n)25×(2n)+7u_{\pink{2n}} =\left({\pink{2n}}\right)^{2} -5\times\left({\pink{2n}}\right)+7
u2n=4n210n+7u_{2n} =4n^{2} -10n+7
Question 4

un=2n+1n+2u_{n}=\frac{2n+1}{n+2}

Correction
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}} Pour calculer un1u_{n-1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n1n-1 .
Il vient alors que :
un1=2×(n1)+1n1+2u_{\red{n-1}} =\frac{2\times \left(\red{n-1}\right)+1}{\red{n-1}+2}
un1=2n2+1n+1u_{n-1} =\frac{2n-2+1}{n+1}
un1=2n1n+1u_{n-1} =\frac{2n-1}{n+1}

Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Pour calculer un+1u_{n+1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n+1n+1 .
Il vient alors que :
un+1=2×(n+1)+1n+1+2u_{{\color{blue}{n+1}}} =\frac{2\times \left({\color{blue}{n+1}}\right)+1}{{\color{blue}{n+1}}+2}
un+1=2n+2+1n+3u_{n+1} =\frac{2n+2+1}{n+3}
un+1=2n+3n+3u_{n+1} =\frac{2n+3}{n+3}

Troisieˋmement :\purple{\text{Troisièmement :}} Pour calculer u2nu_{2n}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des 2n2n .
Il vient alors que :
u2n=2×(2n)+12n+2u_{\pink{2n}} =\frac{2\times \left(\pink{2n}\right)+1}{\pink{2n}+2}
u2n=4n+12n+2u_{2n} =\frac{4n+1}{2n+2}
Question 5

un=23nu_{n}=2^{3n}

Correction
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}} Pour calculer un1u_{n-1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n1n-1 .
Il vient alors que :
un1=23×(n1)u_{\red{n-1}} =2^{3\times \left(\red{n-1}\right)}
un1=23n3u_{n-1} =2^{3n-3}

Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Pour calculer un+1u_{n+1}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des n+1n+1 .
Il vient alors que :
un+1=23×(n+1)u_{{\color{blue}{n+1}}} =2^{3\times \left({\color{blue}{n+1}}\right)}
un+1=23n+3u_{n+1} =2^{3n+3}

Troisieˋmement :\purple{\text{Troisièmement :}} Pour calculer u2nu_{2n}, il va falloir remplacer les nn dans l'expression de unu_{n} par des 2n2n .
Il vient alors que :
u2n=23×2nu_{\pink{2n}} =2^{3\times \pink{2n}}
u2n=26nu_{2n} =2^{6n}