Fonctions polynômes de degré 3

Déterminer les réels aa et bb dans les fonctions de la forme ax3+bax^{3}+b - Exercice 4

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On considère Cf\mathscr{C_f} la représentation graphique d'une fonction de la forme f(x)=ax3+bf(x)=ax^3+b
Question 1

Déterminer l'abscisse de 00 par la fonction ff.

Correction
Ici on souhaite déterminer l'image de 00 par la fonction gg c'est-à-dire f(0)f(0). Pour cela :
\bullet On repère le point d'abscisse 00, et ensuite on rejoint la courbe verticalement.
\bullet Ensuite en partant du point de la courbe, on rejoint l'axe des ordonnées. (En ce point se trouve la valeur recherchée.)
A l'aide du graphique, on  peut  en  conclure  que  limage  de  0  par  la  fonction  f  est  4{\color{blue}on\;peut\;en\;conclure\;que\;l'image\;de\;0\;par\;la\;fonction\;f\;est\;4}. On peut l'écrire également :
f(0)=4{f(0)=4}
Question 2

Déterminer l'abscisse de 1-1 par la fonction ff.

Correction
Ici on souhaite déterminer l'image de 1-1 par la fonction ff c'est-à-dire f(1)f(-1). Pour cela :
\bullet On repère le point d'abscisse 1-1, et ensuite on rejoint la courbe verticalement.
\bullet Ensuite en partant du point de la courbe, on rejoint l'axe des ordonnées. (En ce point se trouve la valeur recherchée.)
A l'aide du graphique, on  peut  en  conclure  que  limage  de  1  par  la  fonction  f  est  9{\color{blue}on\;peut\;en\;conclure\;que\;l'image\;de\;-1\;par\;la\;fonction\;f\;est\;9}. On peut l'écrire également :
f(1)=9{f(-1)=9}
Question 3

Déterminer la valeur des réels aa et bb.

Correction
L'information f(0)=4f\left(0\right)=4 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b . Cela nous donne :
f(0)=4f\left(0\right)=4 qui va s'écrire a×03+b=4a\times 0^{3} +b=4 ainsi 0+b=40 +b=4 d'où b=4\color{red}\boxed{b=4} .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax3+4f\left(x\right)=ax^{3} +4
Nous allons maintenant l'information f(1)=9f\left(-1\right)=9.
Comme f(1)=9f\left(-1\right)=9 alors a×(1)3+4=9a \times (-1)^{3} +4=9 ainsi a+4=9-a +4=9 d'où a=94-a=9-4
a=5-a=5 finalement a=5\color{red}\boxed{a=-5} .
Il en résulte donc que :
f(x)=5x3+4f\left(x\right)=-5x^{3}+4