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Dérivation

Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 1

7 min
10
Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2+12x1f\left(x\right)=3x^{2} +12x-1 sur l'intervalle [5;10]\left[-5;10\right] .
Question 1

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [5;10]\left[-5;10\right].

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • f(x)=3×2x+12f'\left(x\right)=3\times 2x+12
    f(x)=6x+12f'\left(x\right)=6x+12
    Question 2

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [5;10]\left[-5;10\right].

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f(x)=6x+12f'\left(x\right)=6x+12
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f(x)0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f(x)0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    6x+1206x+12\ge 0
    6x126x\ge -12
    x126x\ge \frac{-12}{6}
    x2x\ge -2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 6x+126x+12 lorsque xx sera supérieur ou égale à 2-2.
    Il en résulte donc que :
    • si x[5;2]x\in\left[-5;-2\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x[2;10]x\in\left[-2;10\right] alors f(x)0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :