Dérivation

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

21 min
40
Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note xx le nombre de kilogrammes que produit et vend l’entreprise en un an, xx étant compris entre 00 et 1010. Le montant des charges correspondant à la production de xx kilogrammes de safran, exprimé en milliers d’euros, est modélisé par la fonction CC définie sur l’intervalle [0;10]\left[0; 10\right] par : C(x)=2x3−23x2+90x+10C\left(x\right) = 2x^{3}-23x^{2} +90x +10 .
On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction CC dans un repère orthogonal.
Question 1

Déterminer le montant des charges lorsque l’entreprise produit 55 kilogrammes de safran.

Correction
Le montant des charges lorsque l’entreprise produit 55 kilogrammes de safran est C(5)C\left(5\right) milliers d’euros.
Comme C(x)=2x3−23x2+90x+10C\left(x\right) = 2x^{3}-23x^{2} +90x +10 alors :
C(5)=2×53−23×52+90×5+10C\left(5\right) = 2\times5^{3}-23\times5^{2} +90\times5 +10
C(5)=135C\left(5\right) = 135

Finalement, le montant des charges est de 135135 000000 euros.
Question 2

Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à
200200 000000 euros.

Correction
Le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à 200200 000000 euros est environ 77 . (voir graphique).
Question 3
L’entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 5050 milliers d’euros.

Déterminer le chiffre d’affaires R(x)R\left(x\right), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xx kilogrammes de safran.

Correction
Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 5050 milliers d’euros.
Ainsi, le chiffre d’affaires R(x)R\left(x\right), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xx kilogrammes de safran est R(x)=50xR\left(x\right)=50x.
Question 4

Vérifier que le bénéfice B(x)B\left(x\right), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xx kilogrammes de safran est : B(x)=−2x3+23x2−40x−10B\left(x\right) = -2x^{3} +23x^{2} -40x -10.

Correction
  • Bénéfice == Recette −- Coût de production
Ainsi :
B(x)=R(x)−C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right) équivaut successivement à :
B(x)=50x−(2x3−23x2+90x+10)B\left(x\right)=50x -\left(2x^{3}-23x^{2} +90x +10\right)
B(x)=50x−2x3+23x2−90x−10B\left(x\right)=50x -2x^{3}+23x^{2} -90x -10
B(x)=−2x3+23x2−40x−10B\left(x\right)=-2x^{3}+23x^{2} -40x -10
Question 5
On note B′B' la fonction dérivée de la fonction BB.

Calculer B′(x)B'\left(x\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • B(x)=−2x3+23x2−40x−10B\left(x\right)=-2x^{3}+23x^{2} -40x -10
    B′(x)=−2×3x2+23×2x−40B'\left(x\right)=-2\times3x^{2}+23\times2x -40
    B′(x)=−6x2+46x−40B'\left(x\right)=-6x^{2}+46x -40
    Question 6

    Montrer que B′(x)B'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : B′(x)=−6(x−203)(x−1)B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)

    Correction
    Nous voulons obtenir : B′(x)=−6(x−203)(x−1)B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée −6(x−203)(x−1)-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1).
    Il vient alors que :
    −6(x−203)(x−1)=−6(x×x+x×(−1)−203×x−203×(−1))-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)=-6\left(x\times x+x\times (-1)-\frac{20}{3}\times x-\frac{20}{3}\times (-1)\right)
    −6(x−203)(x−1)=−6(x2−x−203x+203)-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)=-6\left(x^2-x-\frac{20}{3}x+\frac{20}{3}\right)
    −6(x−203)(x−1)=−6×x2−6×(−x)−6×(−203x)−6×(203)-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)=-6\times{x^{2}} -6\times{(-x)}-6\times\left(-\frac{20}{3}x\right)-6\times{\left(\frac{20}{3}\right)}
    −6(x−203)(x−1)=−6x2+6x+40x−40-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)=-6x^2+6x+40x-40
    −6(x−203)(x−1)=−6x2+46x−40-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)=-6x^2+46x-40
    Ainsi :
    B′(x)=−6(x−203)(x−1)B'\left(x\right)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)
    Question 7

    Étudier le signe de B′(x)B'\left(x\right). Donner le tableau de variation de BB.

    Correction
    D'après la question précédente, nous savons que : B′(x)=−6(x−203)(x−1)B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)
    Ainsi :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−203=0⇔x=203x-\frac{20}{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{20}{3}
    Soit x↦x−203x\mapsto x-\frac{20}{3} est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−203x-\frac{20}{3} par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=203x=\frac{20}{3} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin, −6-6 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −6-6.
    Question 8

    Dresser le tableau de variation de BB sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :

  • B(0)=−2×03+23×02−40×0−10B\left(0\right)=-2\times0^{3} +23\times0^{2} -40\times0 -10 ainsi
    B(0)=−10B\left(0\right)=-10
  • B(203)=−2×(203)3+23×(203)2−40×(203)−10B\left(\frac{20}{3}\right)=-2\times\left(\frac{20}{3}\right)^{3} +23\times\left(\frac{20}{3}\right)^{2} -40\times\left(\frac{20}{3}\right) -10 ainsi
    B(203)=413027B\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{4130}{27}
  • B(1)=−2×13+23×12−40×1−10B\left(1\right)=-2\times1^{3} +23\times1^{2} -40\times1 -10 ainsi
    B(1)=−10B\left(1\right)=-10
  • B(10)=−2×103+23×102−40×10−10B\left(10\right)=-2\times10^{3} +23\times10^{2} -40\times10 -10 ainsi
    B(10)=−110B\left(10\right)=-110
    • Question 9

    Quelle quantité de safran l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d’euros

    Correction
    Pour réaliser le bénéfice maximal, il faut vendre 203\frac{20}{3} kilogrammes de safran, soit environ
    6,6676,667 kg. Le bénéfice maximal est, arrondi au millier d’euro, de 153153 milliers d’euros. En effet :
    B(203)=413027≈153B\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{4130}{27}\approx153