Dérivation

Exercices types : 2^ème partie

Exercice 1

Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note

x

le nombre de kilogrammes que produit et vend l’entreprise en un an,

x

étant compris entre

0

10

. Le montant des charges correspondant à la production de

x

kilogrammes de safran, exprimé en milliers d’euros, est modélisé par la fonction

C

définie sur l’intervalle

\left[0; 10\right]

par :

C\left(x\right) = 2x^{3}-23x^{2} +90x +10

On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction

C

dans un repère orthogonal.

Déterminer le montant des charges lorsque l’entreprise produit $5$ kilogrammes de safran.

Correction

Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à
$200$ $000$ euros.

Correction

L’entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de

50

milliers d’euros.

Déterminer le chiffre d’affaires $R\left(x\right)$ , en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran.

Correction

Vérifier que le bénéfice $B\left(x\right)$ , en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est : $B\left(x\right) = -2x^{3} +23x^{2} -40x -10$ .

Correction

On note

B'

la fonction dérivée de la fonction

B

Calculer $B'\left(x\right)$ .

Correction

Montrer que $B'\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme : $B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)$

Correction

Étudier le signe de $B'\left(x\right)$ . Donner le tableau de variation de $B$ .

Correction

Dresser le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ .

Correction

Quelle quantité de safran l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d’euros

Correction

Exercice 2

Une entreprise fabrique des emballages en cartons spécifiques aux médicaments. La production quotidienne sur une de ses lignes de production, exprimée en millier d’emballages, varie entre

5

20

.
Le coût correspondant à la fabrication de

x

milliers d’emballages, exprimé en euro, est modélisé par la fonction

f

définie sur l’intervalle

\left[5; 20\right]

par :

f\left(x\right) = x^{3} -24x^{2} +180x +250

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[5; 20\right]$ . Calculer $f'\left(x\right)$ .

Correction

Montrer que $f'\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme : $f'(x)=3\left(x-6\right)(x-10)$

Correction

En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $\left[5; 20\right]$ . Dresser le tableau de variation de $f$ .

Correction

Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $\left[5;20\right]$ .

Correction

Quel est le nombre d’emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal? Quel est alors ce coût minimal?

Correction

Exercices types : 2ème partie

Exercice 1

Déterminer le montant des charges lorsque l’entreprise produit 555 kilogrammes de safran.

Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à 200200200 000000000 euros.

Déterminer le chiffre d’affaires R(x)R\left(x\right)R(x), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xxx kilogrammes de safran.

Vérifier que le bénéfice B(x)B\left(x\right)B(x), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xxx kilogrammes de safran est : B(x)=−2x3+23x2−40x−10B\left(x\right) = -2x^{3} +23x^{2} -40x -10B(x)=−2x3+23x2−40x−10.

Calculer B′(x)B'\left(x\right)B′(x) .

Montrer que B′(x)B'\left(x\right)B′(x) peut s'écrire sous la forme : B′(x)=−6(x−203)(x−1)B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)B′(x)=−6(x−320​)(x−1)

Étudier le signe de B′(x)B'\left(x\right)B′(x). Donner le tableau de variation de BBB.

Dresser le tableau de variation de BBB sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right][0;10] .

Quelle quantité de safran l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d’euros

Exercice 2

On note f′f'f′ la fonction dérivée de la fonction fff sur l’intervalle [5;20]\left[5; 20\right][5;20]. Calculer f′(x)f'\left(x\right)f′(x).

Montrer que f′(x)f'\left(x\right)f′(x) peut s'écrire sous la forme : f′(x)=3(x−6)(x−10)f'(x)=3\left(x-6\right)(x-10)f′(x)=3(x−6)(x−10)

En déduire le signe de f′f'f′ sur l'intervalle [5;20]\left[5; 20\right][5;20]. Dresser le tableau de variation de fff.

Dresser le tableau de variation de fff sur l'intervalle [5;20]\left[5;20\right][5;20] .

Quel est le nombre d’emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal? Quel est alors ce coût minimal?

Exercices types : 2^ème partie

Déterminer le montant des charges lorsque l’entreprise produit $5$ kilogrammes de safran.

Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à
$200$ $000$ euros.

Déterminer le chiffre d’affaires $R\left(x\right)$ , en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran.

Vérifier que le bénéfice $B\left(x\right)$ , en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est : $B\left(x\right) = -2x^{3} +23x^{2} -40x -10$ .

Calculer $B'\left(x\right)$ .

Montrer que $B'\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme : $B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)$

Étudier le signe de $B'\left(x\right)$ . Donner le tableau de variation de $B$ .

Dresser le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ .

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[5; 20\right]$ . Calculer $f'\left(x\right)$ .

Montrer que $f'\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme : $f'(x)=3\left(x-6\right)(x-10)$

En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $\left[5; 20\right]$ . Dresser le tableau de variation de $f$ .

Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $\left[5;20\right]$ .