Dérivation

Exercices types : 1ère partie

Exercice 1

Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d’estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre 15001500 et 30003000 panneaux solaires. On s’intéresse au bénéfice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits. On décide de modéliser l’évolution du bénéfice de l’entreprise, exprimé en centaine d’euros, par la fonction ff définie ci-dessous :
f(x)=2x2+90x400f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400
On admet que la fonction ff est dérivable sur l’intervalle [15;30]\left[15; 30\right] et on note ff' sa fonction dérivée.
1

Calculer la dérivée de ff notée ff'.

Correction
2

Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [15;30]\left[15; 30\right].

Correction
3

Calculer son maximum.

Correction
Les valeurs de xx, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
4

Pour quelle production le bénéfice est-il maximal? Quelle est alors sa valeur?

Correction

Exercice 2

Une entreprise, qui fabrique et vend des caméscopes numériques, modélise le bénéfice en euros pour xx caméscopes fabriquées et vendus en une journée, à l'aide de la fonction f(x)=2x3120x2+1800x1000f\left(x\right)=2x^{3}-120x^{2}+1800x-1000 .
L'entreprise ne pouvant construire plus de 3030 caméscopes par jour. On aura ainsi : x[0;30]x\in \left[0;30\right]
1

Calculer le bénéfice pour 55 puis pour 1010 caméscopes.

Correction
2

Calculer f(x)f'\left(x\right)ff' désigne la fonction dérivée de ff.

Correction
3

Montrer que l'on peut écrire ff' sous la forme f(x)=6(x10)(x30)f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right) .

Correction
4

Etudier le signe de ff' sur l'intervalle [0;30]\left[0;30\right] .

Correction
5

Dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [0;30]\left[0;30\right] .

Correction
6

En déduire combien de caméscopes l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.

Correction

Exercice 3

Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.
On admet que la fabrication est comprise entre 00 et 700700 unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros.
Le nombre de produits fabriqués ,est lui, exprimé en centaines d’unités
On modélise :
  • la recette par la fonction RR définie sur [0;7]\left[0; 7\right] par R(x)=2x3+4,5x2+62xR\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x
  • les coûts par la fonction CC définie sur [0;7]\left[0; 7\right] par C(x)=20x+10C\left(x\right)=20x+10
  • 1

    Calculer la recette et le coût pour 300300 produits fabriqués. En déduire le bénéfice correspondant.

    Correction
    On note BB la fonction bénéfice.
    2

    Donner l’expression de B(x)B\left(x\right) sur l’intervalle [0;7]\left[0; 7\right].

    Correction
    3

    Calculer BB'BB' désigne la fonction dérivée de la fonction BB.

    Correction
    4

    Montrer que B(x)B'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : B(x)=6(x72)(x+2)B'(x)=-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)

    Correction
    5

    Étudier le signe de B(x)B'\left(x\right). Donner le tableau de variation de BB.

    Correction
    6

    Dresser le tableau de variation de BB sur l'intervalle [0;7]\left[0;7\right] .

    Correction
    7

    En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l’obtenir.

    Correction
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