Etudier le signe d'un produit de la forme $a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$ - Dérivation - STHR

Question 1

Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

$f\left(x\right)=4\left(x-6\right)\left(x-3\right)$ sur l'intervalle $\left[-1;8\right]$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x-6=0\Leftrightarrow x=6

Soit

x\mapsto x-6

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-6$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-3=0\Leftrightarrow x=3

Soit

x\mapsto x-3

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-3$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=3$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

4

est strictement positif. On mettra que le signe

\left(+\right)

dans la ligne de

4

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 2

$f\left(x\right)=-5\left(x-1\right)\left(x-8\right)$ sur l'intervalle $\left[-1;10\right]$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x-1=0\Leftrightarrow x=1

Soit

x\mapsto x-1

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-1$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-8=0\Leftrightarrow x=8

Soit

x\mapsto x-8

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-8$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=8$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

-5

est strictement négatif. On mettra que le signe

\left(-\right)

dans la ligne de

-5

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 3

$f\left(x\right)=3\left(x+7\right)\left(x-2\right)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x+7=0\Leftrightarrow x=-7

Soit

x\mapsto x+7

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+7$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-7$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-2=0\Leftrightarrow x=2

Soit

x\mapsto x-2

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=2$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

3

est strictement positif. On mettra que le signe

\left(+\right)

dans la ligne de

3

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 4

$f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)\left(x-9\right)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x-1=0\Leftrightarrow x=1

Soit

x\mapsto x-1

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-1$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-9=0\Leftrightarrow x=9

Soit

x\mapsto x-9

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-9$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=9$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Question 5

$f\left(x\right)=7\left(x-6\right)\left(x-4\right)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x-6=0\Leftrightarrow x=6

Soit

x\mapsto x-6

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-6$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-4=0\Leftrightarrow x=4

Soit

x\mapsto x-4

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-4$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

Etudier le signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)a(x−x1​)(x−x2​) - Exercice 1

f(x)=4(x−6)(x−3)f\left(x\right)=4\left(x-6\right)\left(x-3\right)f(x)=4(x−6)(x−3) sur l'intervalle [−1;8]\left[-1;8\right][−1;8] .

f(x)=−5(x−1)(x−8)f\left(x\right)=-5\left(x-1\right)\left(x-8\right)f(x)=−5(x−1)(x−8) sur l'intervalle [−1;10]\left[-1;10\right][−1;10] .

f(x)=3(x+7)(x−2)f\left(x\right)=3\left(x+7\right)\left(x-2\right)f(x)=3(x+7)(x−2) sur R\mathbb{R}R

f(x)=−2(x−1)(x−9)f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)\left(x-9\right)f(x)=−2(x−1)(x−9) sur R\mathbb{R}R

f(x)=7(x−6)(x−4)f\left(x\right)=7\left(x-6\right)\left(x-4\right)f(x)=7(x−6)(x−4) sur R\mathbb{R}R

Etudier le signe d'un produit de la forme $a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$ - Exercice 1

$f\left(x\right)=4\left(x-6\right)\left(x-3\right)$ sur l'intervalle $\left[-1;8\right]$ .

$f\left(x\right)=-5\left(x-1\right)\left(x-8\right)$ sur l'intervalle $\left[-1;10\right]$ .

$f\left(x\right)=3\left(x+7\right)\left(x-2\right)$ sur $\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)\left(x-9\right)$ sur $\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=7\left(x-6\right)\left(x-4\right)$ sur $\mathbb{R}$