Dérivation

Dérivées des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 3

10 min
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Question 1

Soit f(x)=2x348x2+288x+50f\left(x\right)=2x^{3}-48x^{2}+288x+50 . Vérifier que : f(x)=6(x4)(x12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
  • f(x)=2×3x248×2x+288f'\left(x\right)=2\times3x^{2}-48\times2x+288
    f(x)=6x296x+288f'\left(x\right)=6x^{2}-96x+288
    Nous voulons obtenir : f(x)=6(x4)(x12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée 6(x4)(x12)6\left(x-4\right)\left(x-12\right) .
    Il vient alors que :
    6(x4)(x12)=6(x×x+x×(12)+(4)×x+(4)×(12))6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x\times x+x\times \left(-12\right)+\left(-4\right)\times x+\left(-4\right)\times \left(-12\right)\right)
    6(x4)(x12)=6(x212x4x+48)6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x^{2} -12x-4x+48\right)
    6(x4)(x12)=6(x216x+48)6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x^{2} -16x+48\right)
    6(x4)(x12)=6×x216x×6+48×66\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\times x^{2} -16x\times 6+48\times 6
    6(x4)(x12)=6x296x+2886\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6x^{2} -96x+288
    Ainsi :
    f(x)=6(x4)(x12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)