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Dérivation
Dérivées des fonctions polynômes du second degré - Exercice 3
10 min
20
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
Dans cet exercice, on admettra que toutes les fonctions sont dérivables sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 1
f
(
x
)
=
6
x
2
−
3
x
+
1
f\left(x\right)=6x^{2} -3x+1
f
(
x
)
=
6
x
2
−
3
x
+
1
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
6
×
2
x
−
3
f'\left(x\right)=6\times2x-3
f
′
(
x
)
=
6
×
2
x
−
3
f
′
(
x
)
=
12
x
−
3
f'\left(x\right)=12x-3
f
′
(
x
)
=
12
x
−
3
Question 2
f
(
x
)
=
7
x
2
+
4
x
+
3
f\left(x\right)=7x^{2} +4x+3
f
(
x
)
=
7
x
2
+
4
x
+
3
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
7
×
2
x
+
4
f'\left(x\right)=7\times2x+4
f
′
(
x
)
=
7
×
2
x
+
4
f
′
(
x
)
=
14
x
+
4
f'\left(x\right)=14x+4
f
′
(
x
)
=
14
x
+
4
Question 3
f
(
x
)
=
−
4
x
2
+
8
x
+
2
f\left(x\right)=-4x^{2} +8x+2
f
(
x
)
=
−
4
x
2
+
8
x
+
2
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
−
4
×
2
x
+
8
f'\left(x\right)=-4\times2x+8
f
′
(
x
)
=
−
4
×
2
x
+
8
f
′
(
x
)
=
−
8
x
+
8
f'\left(x\right)=-8x+8
f
′
(
x
)
=
−
8
x
+
8
Question 4
f
(
x
)
=
−
8
x
2
−
5
x
+
2
f\left(x\right)=-8x^{2} -5x+2
f
(
x
)
=
−
8
x
2
−
5
x
+
2
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
−
8
×
2
x
−
5
f'\left(x\right)=-8\times2x-5
f
′
(
x
)
=
−
8
×
2
x
−
5
f
′
(
x
)
=
−
16
x
−
5
f'\left(x\right)=-16x-5
f
′
(
x
)
=
−
16
x
−
5
Question 5
f
(
x
)
=
x
2
3
+
x
5
−
6
f\left(x\right)=\frac{x^{2} }{3} +\frac{x}{5} -6
f
(
x
)
=
3
x
2
+
5
x
−
6
Correction
Nous pouvons écrire
f
f
f
sous la forme :
f
(
x
)
=
1
3
x
2
+
1
5
x
−
6
f\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{2} +\frac{1}{5} x-6
f
(
x
)
=
3
1
x
2
+
5
1
x
−
6
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
1
3
×
2
×
x
+
1
5
f'\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 2\times x+\frac{1}{5}
f
′
(
x
)
=
3
1
×
2
×
x
+
5
1
f
′
(
x
)
=
2
3
x
+
1
5
f'\left(x\right)=\frac{2}{3} x+\frac{1}{5}
f
′
(
x
)
=
3
2
x
+
5
1