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Dérivation
Dérivées des fonctions polynômes du second degré - Exercice 1
10 min
20
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
Dans cet exercice, on admettra que toutes les fonctions sont dérivables sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 1
f
(
x
)
=
x
2
−
4
x
+
6
f\left(x\right)=x^{2} -4x+6
f
(
x
)
=
x
2
−
4
x
+
6
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
2
x
−
4
f'\left(x\right)=2x-4
f
′
(
x
)
=
2
x
−
4
Question 2
f
(
x
)
=
3
x
2
+
5
x
+
7
f\left(x\right)=3x^{2} +5x+7
f
(
x
)
=
3
x
2
+
5
x
+
7
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
3
×
2
x
+
5
f'\left(x\right)=3\times2x+5
f
′
(
x
)
=
3
×
2
x
+
5
f
′
(
x
)
=
6
x
+
5
f'\left(x\right)=6x+5
f
′
(
x
)
=
6
x
+
5
Question 3
f
(
x
)
=
−
5
x
2
+
7
x
+
1
f\left(x\right)=-5x^{2} +7x+1
f
(
x
)
=
−
5
x
2
+
7
x
+
1
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
−
5
×
2
x
+
7
f'\left(x\right)=-5\times2x+7
f
′
(
x
)
=
−
5
×
2
x
+
7
f
′
(
x
)
=
−
10
x
+
7
f'\left(x\right)=-10x+7
f
′
(
x
)
=
−
10
x
+
7
Question 4
f
(
x
)
=
−
9
x
2
−
x
+
3
f\left(x\right)=-9x^{2} -x+3
f
(
x
)
=
−
9
x
2
−
x
+
3
Correction
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
f
′
(
x
)
=
−
9
×
2
x
−
1
f'\left(x\right)=-9\times2x-1
f
′
(
x
)
=
−
9
×
2
x
−
1
f
′
(
x
)
=
−
18
x
−
1
f'\left(x\right)=-18x-1
f
′
(
x
)
=
−
18
x
−
1
Question 5
f
(
t
)
=
t
2
5
+
t
4
−
3
f\left(t\right)=\frac{t^{2} }{5} +\frac{t}{4} -3
f
(
t
)
=
5
t
2
+
4
t
−
3
Correction
Nous pouvons écrire
f
f
f
sous la forme :
f
(
t
)
=
1
5
t
2
+
1
4
t
−
3
f\left(t\right)=\frac{1}{5} t^{2} +\frac{1}{4} t-3
f
(
t
)
=
5
1
t
2
+
4
1
t
−
3
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
{\color{blue}nombre}
n
o
mb
re
est
0
.
{\color{blue}0} .
0
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
{\color{blue}nombre\times x}
n
o
mb
re
×
x
est
n
o
m
b
r
e
.
{\color{blue}nombre} .
n
o
mb
re
.
La dérivée de
x
2
{\color{blue}x^{2}}
x
2
est
2
x
.
{\color{blue}2x} .
2
x
.
La dérivée d'un
n
o
m
b
r
e
×
x
2
{\color{blue}nombre\times x^{2}}
n
o
mb
re
×
x
2
est
n
o
m
b
r
e
×
2
x
.
{\color{blue}nombre\times2x} .
n
o
mb
re
×
2
x
.
Il vient alors que :
f
′
(
t
)
=
1
5
×
2
×
t
+
1
4
f'\left(t\right)=\frac{1}{5} \times 2\times t+\frac{1}{4}
f
′
(
t
)
=
5
1
×
2
×
t
+
4
1
f
′
(
t
)
=
2
5
t
+
1
4
f'\left(t\right)=\frac{2}{5} t+\frac{1}{4}
f
′
(
t
)
=
5
2
t
+
4
1