Cours sur les puissances

Calculs sur les puissances

Définition

  • Soit nn un nombre entier non nul .
  • Le nombre réel aa, à la puissance nn est définie par : an=a×a×a×…×a⏟n foisa^{n} =\underbrace{a\times a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ fois}}
  • On admet que
    a0=1a^0=1

Règles de calculs

Première formule

Propriété
  • Soient nn et mm deux entiers relatifs et aa un réel alors :
    an×am=an+m{\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}}\times {\color{red}{a}}^{{\color{green}{m}}} ={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}+{\color{green}{m}}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : A=72×73A=7^2\times 7^3
A=72×73A={\color{red}{7}}^{{\color{blue}{2}}}\times {\color{red}{7}}^{{\color{green}{3}}}
A=72+3A ={\color{red}{7}}^{{\color{blue}{2}}+{\color{green}{3}}}
Ainsi :
A=75A=7^{5}

Deuxième formule

Propriété
  • Soient nn et mm deux entiers relatifs et aa un réel alors :
    anam=an−m\frac{{\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}}}{{\color{red}{a}}^{{\color{green}{m}}}}={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}-{\color{green}{m}}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : B=5852B=\frac{5^8}{5^2}
B=5852B=\frac{{\color{red}{5}}^{{\color{blue}{8}}}}{{\color{red}{5}}^{{\color{green}{2}}}}
B=58−2B={\color{red}{5}}^{{\color{blue}{8}}-{\color{green}{2}}}
Ainsi :
B=56B=5^{6}

Troisième formule

Propriété
  • Soient nn et mm deux entiers relatifs et aa un réel alors :
    (an)m=an×m\left({\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}} \right)^{{\color{green}{m}}} ={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}\times {\color{greeen}{m}}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : C=(6−3)4C=\left(6^{-3} \right)^{4}
C=(6−3)4C=\left({\color{red}{6}}^{{\color{blue}{-3}}} \right)^{{\color{green}{4}}}
C=6(−3)×4C={\color{red}{6}}^{{\color{blue}{\left(-3\right)}}\times {\color{greeen}{4}}}
Ainsi :
C=6−12C=6^{-12}

Quatrième formule

Propriété
  • Soient nn un entier relatif et aa et bb deux réels non nuls alors :
    (a×b)n=an×bn\left({\color{blue}{a}}\times {\color{red}{b}}\right)^{{\color{green}{n}}} ={\color{blue}{a}}^{{\color{green}{n}}} \times {\color{red}{b}}^{{\color{green}{n}}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : D=42×52D=4^{2}\times5^{2}
D=42×52D={\color{blue}{4}}^{{\color{green}{2}}} \times {\color{red}{5}}^{{\color{green}{2}}}
D=(4×5)2D=\left({\color{blue}{4}}\times {\color{red}{5}}\right)^{{\color{green}{2}}}
Ainsi :
D=202D=20^{2}

Cinquième formule

Propriété
  • Soient nn un entier relatif et aa un réel non nul alors :
    1an=a−n\frac{1}{{\color{blue}{a}}^{{\color{red}{n}}} } ={\color{blue}{a}}^{-{\color{red}{n}}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : E=146E=\frac{1}{4^{6}}
E=146E=\frac{1}{{\color{blue}{4}}^{{\color{red}{6}}} }
Ainsi :
E=4−6E={\color{blue}{4}}^{-{\color{red}{6}}}

Un calcul qui résume tout

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Exprimer sous la forme d’une seule puissance : F=23×(24)524×2−7F=\frac{2^{3} \times \left(2^{4} \right)^{5} }{2^{4} \times 2^{-7} }
F=23×(24)524×2−7F=\frac{2^{3} \times \left(2^{4} \right)^{5} }{2^{4} \times 2^{-7} } équivaut successivement à :
F=23×24×524×2−7F=\frac{2^{3} \times 2^{4\times 5} }{2^{4} \times 2^{-7} }
F=23×22024×2−7F=\frac{2^{3} \times 2^{20} }{2^{4} \times 2^{-7} }
F=23+2024+(−7)F=\frac{2^{3+20} }{2^{4+\left(-7\right)} }
F=23+2024−7F=\frac{2^{3+20} }{2^{4-7} }
F=2232−3F=\frac{2^{23} }{2^{-3} }
F=223−(−3)F=2^{23-\left(-3\right)}
F=223+3F=2^{23+3}
Ainsi :
F=226F=2^{26}