Cours sur les développements

Développement

Définition

  • Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.

Propriétés

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Propriété Pour tous réels aa, bb et kk, on a :
  • k×(a+b)=k×a+k×b\red{k}\times \left({\color{blue}{a}}+{\color{green}{b}}\right)=\red{k}\times {\color{blue}{a}}+\red{k}\times {\color{green}{b}} que l'on peut aussi écrire k(a+b)=ka+kbk\left(a+b\right)=ka+kb
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression A(x)=3(5+2x)A\left(x\right)=3\left(5+2x\right) A(x)=3(5+2x)A\left(x\right)=\red{3}\left({\color{blue}{5}}+{\color{green}{2x}}\right) A(x)=3×5+3×2xA\left(x\right)=\red{3}\times {\color{blue}{5}}+\red{3}\times {\color{green}{2x}} Ainsi :
A(x)=15+6xA\left(x\right)=15+6x

Double distributivité

Propriété Pour tous réels aa, bb , cc et dd, on a :
  • k×(a+b)=k×a+k×b\red{k}\times \left({\color{blue}{a}}+{\color{green}{b}}\right)=\red{k}\times {\color{blue}{a}}+\red{k}\times {\color{green}{b}} que l'on peut aussi écrire k(a+b)=ka+kbk\left(a+b\right)=ka+kb
  • (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\left(\red{a}+{\color{blue}{b}}\right)\left(\pink{c}+{\color{green}{d}}\right)=\red{a}\times \pink{c}+\red{a}\times {\color{green}{d}}+{\color{blue}{b}}\times \pink{c}+{\color{blue}{b}}\times {\color{green}{d}} que l'on peut aussi écrire (a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ab+ac+bc+bd
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression B(x)=(2x+3)(4x+5)B\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(4x+5\right) B(x)=(2x+3)(4x+5)B\left(x\right)=\left(\red{2x}+{\color{blue}{3}}\right)\left(\pink{4x}+{\color{green}{5}}\right) B(x)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5B\left(x\right)=\red{2x}\times \pink{4x}+\red{2x}\times {\color{green}{5}}+{\color{blue}{3}}\times \pink{4x}+{\color{blue}{3}}\times {\color{green}{5}} B(x)=8x2+10x+12x+15B\left(x\right)=8x^{2} +10x+12x+15 Ainsi :
B(x)=8x2+22x+15B\left(x\right)=8x^{2} +22x+15
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression C(x)=(3x4)(2x+1)C\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(2x+1\right) C(x)=3x×2x+3x×1+(4)×2x+(4)×1C\left(x\right)=3x\times 2x+3x\times 1+\left(-4\right)\times 2x+\left(-4\right)\times 1 C(x)=6x2+3x8x4C\left(x\right)=6x^{2} +3x-8x-4 C(x)=6x25x4C\left(x\right)=6x^{2} -5x-4 Ainsi :
C(x)=6x25x4C\left(x\right)=6x^{2} -5x-4

Les identités remarquables

Développer à l'aide de l'identité remarquable (a+b)2\blue{\left(a+b\right)^{2}}

Définition
  • Pour tous réels a{\color{blue}a} et b{\color{red}b}, on a : (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression D(x)=(3x+4)2D\left(x\right)=\left(3x+4\right)^{2} Ici nous avons a=3xa={\color{blue}3x} et b=4b={\color{red}4}. D(x)=(3x+4)2D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}+{\color{red}4}\right)^{2} équivaut successivement à : D(x)=(3x)2+2×3x×4+42D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} +2\times {\color{blue}3x}\times {\color{red}4}+{\color{red}4}^{2} Ainsi :
D(x)=9x2+24x+16D\left(x\right)=9x^{2} +24x+16

Développer à l'aide de l'identité remarquable (ab)2\blue{\left(a-b\right)^{2}}

Définition
  • Pour tous réels a{\color{blue}a} et b{\color{red}b}, on a : (ab)2=a22ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression E(x)=(x5)2E\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2} Ici nous avons a=xa={\color{blue}x} et b=5b={\color{red}5}. E(x)=(x5)2E\left(x\right)=\left({\color{blue}x}-{\color{red}5}\right)^{2} équivaut successivement à : E(x)=x22×x×5+52E\left(x\right)={\color{blue}x}^{2} -2\times {\color{blue}x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2} Ainsi :
E(x)=x210x+25E\left(x\right)=x^{2} -10x+25

Développer à l'aide de l'identité remarquable (ab)(a+b)\blue{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}

Définition
  • Pour tous réels a{\color{blue}a} et b{\color{red}b}, on a : (ab)(a+b)=a2b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Développer puis réduire l’expression F(x)=(5x2)(5x+2)F\left(x\right)=\left(5x-2\right)\left(5x+2\right) Ici nous avons a=5xa={\color{blue}5x} et b=2b={\color{red}2}. F(x)=(5x2)(5x+2)F\left(x\right)=\left({\color{blue}5x}-{\color{red}2}\right)\left({\color{blue}5x}+{\color{red}2}\right) F(x)=(5x)2(2)2F\left(x\right)=\left({\color{blue}5x}\right)^{2} -\left({\color{red}2}\right)^{2} Ainsi :
F(x)=25x24F\left(x\right)=25x^{2} -4