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Calculer une espérance - Exercice 1

7 min
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Question 1
Lors de la fête de l'école, on propose des tickets à gratter. Sur les 150150 tickets vendus : un seul ticket permet de gagner 100100 euros, 2020 rapportent 3030 euros , 1010 rapportent 1515 euros et 55 rapportent 33 euros, les autres sont perdants. Les tickets sont vendus au prix de 33 euros. Soit XX la variable aléatoire qui donne le montant du gain pour l’achat d’un ticket à gratter.

Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire XX.

Correction
Sur les 150150 tickets vendus : un seul ticket permet de gagner 100100 euros, 2020 rapportent 3030 euros , 1010 rapportent 1515 euros et 55 rapportent 33 euros, les autres sont perdants.
Les tickets gagnants peuvent rapporter les sommes de 100100; 3030; 1515 et 33 euros.
Cependant, il ne faut pas oublier l'achat l’achat d’un ticket qui coûte 33 euros.
Les différentes valeurs prises par la variable aléatoire XX sont donc : 9797; 2727; 1212; 00 et −3-3 (Il ne faut pas oublier les tickets perdants) .
On est dans un cas d’équiprobabilité. On a donc :
P(X=97)=1150P\left(X=97\right)=\frac{1}{150} ; P(X=27)=20150P\left(X=27\right)=\frac{20}{150} ; P(X=12)=10150P\left(X=12\right)=\frac{10}{150} ; P(X=0)=5150P\left(X=0\right)=\frac{5}{150} et enfin P(X=−3)=114150P\left(X=-3\right)=\frac{114}{150}
Nous allons donc dresser la loi de probabilité associée à XX :
Question 2

Calculer et interpréter l'espérance de la variable aléatoire XX .

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
E(X)=97×1150+27×20150+12×10150+0×5150+(−3)×114150E\left(X\right)=97\times \frac{1}{150} +27\times \frac{20}{150} +12\times \frac{10}{150} +0\times \frac{5}{150} +\left(-3\right)\times \frac{114}{150}
E(X)=8330E\left(X\right)=\frac{83}{30}
E(X)≈2,77E\left(X\right)\approx 2,77 à 10−210^{-2} près

En moyenne un joueur gagne 2,772,77 euros à ce jeu de tickets à gratter.

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