Suites numériques

Etudier le sens de la variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 3

20 min
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Soit nn un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Ces deux questions sont identiques.
Question 1

un=2n+3u_{n} =2n+3

Correction
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n+3u_{n} =2n+3 alors :
un+1=2(n+1)+3u_{n+1} =2\left(n+1\right)+3
un+1=2n+2+3u_{n+1} =2n+2+3
un+1=2n+5u_{n+1} =2n+5
2ème étape : Calcul de un+1unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1unu_{n+1} -u_{n} .
un+1un=2n+5(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =2n+5-\left(2n+3\right)
un+1un=2n+52n3u_{n+1} -u_{n} =2n+5-2n-3
un+1un=2u_{n+1} -u_{n} =2
Or un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 2

un=4n+9u_{n} =-4n+9

Correction
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=4n+9u_{n} =-4n+9 alors :
un+1=4(n+1)+9u_{n+1} =-4\left(n+1\right)+9
un+1=4n4+9u_{n+1} =-4n-4+9
un+1=4n+5u_{n+1} =-4n+5
2ème étape : Calcul de un+1unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1unu_{n+1} -u_{n} .
un+1un=4n+5(4n+9)u_{n+1} -u_{n} =-4n+5-\left(-4n+9\right)
un+1un=4n+5+4n9u_{n+1} -u_{n} =-4n+5+4n-9
un+1un=4u_{n+1} -u_{n} =-4
Or un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}
Question 3

un=n2+3u_{n} =n^{2} +3

Correction
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=n2+3u_{n} =n^{2} +3 alors :
un+1=(n+1)2+3u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2} +3
un+1=n2+2n+1+3u_{n+1} =n^{2} +2n+1+3
un+1=n2+2n+4u_{n+1} =n^{2} +2n+4
2ème étape : Calcul de un+1unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1unu_{n+1} -u_{n} .
un+1un=n2+2n+4(n2+3)u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-\left(n^{2} +3\right)
un+1un=n2+2n+4n23u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-n^{2} -3
un+1un=2n+1u_{n+1} -u_{n} =2n+1
Ici, un+1unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de 2n+12n+1.
Comme nn un entier naturel alors n0n\ge0 donc 2n02n\ge0 ainsi 2n+112n+1\ge1.
Il en résulte que 2n+102n+1\ge 0
Or un+1un=2n+1u_{n+1} -u_{n} =2n+1 donc un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 4

un=2n2+nu_{n} =2n^{2} +n

Correction
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n2+nu_{n} =2n^{2} +n alors :
un+1=2(n+1)2+n+1u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2} +n+1
un+1=2(n2+2n+1)+n+1u_{n+1} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+n+1
un+1=2n2+4n+2+n+1u_{n+1} =2n^{2} +4n+2+n+1
un+1=2n2+5n+3u_{n+1} =2n^{2} +5n+3
2ème étape : Calcul de un+1unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1unu_{n+1} -u_{n} .
un+1un=2n2+5n+3(2n2+n)u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-\left(2n^{2} +n\right)
un+1un=2n2+5n+32n2nu_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-2n^{2} -n
un+1un=4n+3u_{n+1} -u_{n} =4n+3
Ici, un+1unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de 4n+34n+3.
Comme nn un entier naturel alors n0n\ge0 donc 4n04n\ge0 ainsi 4n+334n+3\ge3.
Il en résulte que 4n+304n+3\ge 0
Or un+1un=4n+3u_{n+1} -u_{n} =4n+3 donc un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}