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Déterminer une équation de droite ou l'expression affine d'une fonction - Exercice 2

18 min
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Question 1
Trouver la fonction affine ff dont la représentation graphique passe par les points AA et BB donnés.

A(2;7)A\left(2;7\right) et B(3;8)B\left(3;8\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=8−73−2a=\frac{8-7}{3-2 }
a=11a=\frac{1}{1}
a=1a=1

Ainsi : f(x)=x+bf\left(x\right)=x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(2;7)A\left(2;7\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=xA+bf\left(x_{A}\right)=x_{A}+b ou encore yA=xA+by_{A}=x_{A}+b.
Il vient alors que :
7=2+b7=2+b équivaut successivement à :
2+b=72+b=7
b=7−2b=7-2
b=5b=5

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=x+5y=x+5
Question 2

A(0;−5)A\left(0;-5\right) et B(3;4)B\left(3;4\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=4−(−5)3−0a=\frac{4-\left(-5\right)}{3-0 }
a=93a=\frac{9}{3}
a=3a=3

Ainsi : f(x)=3x+bf\left(x\right)=3x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(0;−5)A\left(0;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=3xA+bf\left(x_{A}\right)=3x_{A}+b ou encore yA=3xA+by_{A}=3x_{A}+b.
Il vient alors que :
−5=3×0+b-5=3\times0+b équivaut successivement à :
3×0+b=−53\times0+b=-5
b=−5b=-5

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=3x−5y=3x-5
Question 3

A(3;5)A\left(3;5\right) et B(6;11)B\left(6;11\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=11−56−3a=\frac{11-5}{6-3 }
a=63a=\frac{6}{3}
a=2a=2

Ainsi : f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(3;5)A\left(3;5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=2xA+bf\left(x_{A}\right)=2x_{A}+b ou encore yA=2xA+by_{A}=2x_{A}+b.
Il vient alors que :
5=2×3+b5=2\times3+b équivaut successivement à :
2×3+b=52\times3+b=5
6+b=56+b=5
b=5−6b=5-6
b=−1b=-1

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=2x−1y=2x-1
Question 4

A(1;−5)A\left(1;-5\right) et B(2;−12)B\left(2;-12\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=−12−(−5)2−1a=\frac{-12-\left(-5\right)}{2-1 }
a=−71a=\frac{-7}{1}
a=−7a=-7

Ainsi : f(x)=−7x+bf\left(x\right)=-7x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(1;−5)A\left(1;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=−7xA+bf\left(x_{A}\right)=-7x_{A}+b ou encore yA=−7xA+by_{A}=-7x_{A}+b.
Il vient alors que :
−5=−7×1+b-5=-7\times1+b équivaut successivement à :
−7×1+b=−5-7\times1+b=-5
−7+b=−5-7+b=-5
b=−5+7b=-5+7
b=2b=2

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−7x+2y=-7x+2
Question 5

A(2;2)A\left(2;2\right) et B(5;−4)B\left(5;-4\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=−4−25−2a=\frac{-4-2}{5-2 }
a=−63a=\frac{-6}{3}
a=−2a=-2

Ainsi : f(x)=−2x+bf\left(x\right)=-2x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point B(5;−4)B\left(5;-4\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xB)=−2xB+bf\left(x_{B}\right)=-2x_{B}+b ou encore yB=−2xB+by_{B}=-2x_{B}+b.
Il vient alors que :
−4=−2×5+b-4=-2\times5+b équivaut successivement à :
−2×5+b=−4-2\times5+b=-4
−10+b=−4-10+b=-4
b=−4+10b=-4+10
b=6b=6

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−2x+6y=-2x+6
Question 6

A(1;−1)A\left(1;-1\right) et B(2;−6)B\left(2;-6\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=−6−(−1)2−1a=\frac{-6-\left(-1\right)}{2-1 }
a=−6+11a=\frac{-6+1}{1}
a=−5a=-5

Ainsi : f(x)=−5x+bf\left(x\right)=-5x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point B(2;−6)B\left(2;-6\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xB)=−5xB+bf\left(x_{B}\right)=-5x_{B}+b ou encore yB=−5xB+by_{B}=-5x_{B}+b.
Il vient alors que :
−6=−5×2+b-6=-5\times2+b équivaut successivement à :
−5×2+b=−6-5\times2+b=-6
−10+b=−6-10+b=-6
b=−6+10b=-6+10
b=4b=4

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−5x+4y=-5x+4

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