Déterminer les réels $$a$$ et $$b$$ dans les fonctions de la forme $$ax^{3}+b$$ - Exercice 1

L'information $$f\left(0\right)=5$$ va nous permettre d'obtenir la valeur de $$b$$. En effet, nous allons remplacer dans l'expression $$f\left(x\right)=ax^{3} +b$$ . Cela nous donne :
$$f\left(0\right)=5$$ qui va s'écrire $$a\times 0^{3} +b=5$$ ainsi $$0 +b=5$$ d'où $$b=5$$ .
Ce qui nous permet d'écrire que : $$f\left(x\right)=ax^{3} +5$$
Nous allons maintenant utiliser l'information $$f\left(1\right)=3$$.
Comme $$f\left(1\right)=3$$ alors $$a \times 1^{3} +5=3$$ ainsi $$a +5=3$$ d'où $$a=3-5$$ finalement $$a=-2$$ .
Il en résulte donc que :

L'information $$f\left(0\right)=2$$ va nous permettre d'obtenir la valeur de $$b$$. En effet, nous allons remplacer dans l'expression $$f\left(x\right)=ax^{3} +b$$ . Cela nous donne :
$$f\left(0\right)=2$$ qui va s'écrire $$a\times 0^{3} +b=2$$ ainsi $$0 +b=2$$ d'où $$b=2$$ .
Ce qui nous permet d'écrire que : $$f\left(x\right)=ax^{3} +2$$
Nous allons maintenant utiliser l'information $$f\left(2\right)=4$$.
Comme $$f\left(2\right)=4$$ alors $$a \times 2^{3} +2=4$$ ainsi $$8a +2=4$$ d'où $$8a=4-2$$
$$8a=2$$ finalement $$a=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$ .
Il en résulte donc que :

L'information $$f\left(0\right)=-4$$ va nous permettre d'obtenir la valeur de $$b$$. En effet, nous allons remplacer dans l'expression $$f\left(x\right)=ax^{3} +b$$ . Cela nous donne :
$$f\left(0\right)=-4$$ qui va s'écrire $$a\times 0^{3} +b=-4$$ ainsi $$0 +b=-4$$ d'où $$b=-4$$ .
Ce qui nous permet d'écrire que : $$f\left(x\right)=ax^{3} -4$$
Nous allons maintenant utiliser l'information $$f\left(-1\right)=-5$$.
Comme $$f\left(-1\right)=-5$$ alors $$a \times (-1)^{3} -4=-5$$ ainsi $$-a -4=-5$$ d'où $$-a=-5+4$$
$$-a=-1$$ finalement $$a=1$$ .
Il en résulte donc que :

L'information $$f\left(0\right)=-9$$ va nous permettre d'obtenir la valeur de $$b$$. En effet, nous allons remplacer dans l'expression $$f\left(x\right)=ax^{3} +b$$ . Cela nous donne :
$$f\left(0\right)=-9$$ qui va s'écrire $$a\times 0^{3} +b=-9$$ ainsi $$0 +b=-9$$ d'où $$b=-9$$ .
Ce qui nous permet d'écrire que : $$f\left(x\right)=ax^{3} -9$$
Nous allons maintenant utiliser l'information $$f\left(3\right)=18$$.
Comme $$f\left(3\right)=18$$ alors $$a \times (3)^{3} -9=18$$ ainsi $$27a -9=18$$ d'où$$\;$$ $$27a=18+9$$
$$27a=27$$ finalement $$a=1$$ .
Il en résulte donc que :