Fonctions polynômes de degré 3

Comment étudier le signe d'un produit de la forme a(xx1)(xx2)(xx3)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) - Exercice 4

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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=4(x7)(x21)(x14)f\left(x\right)=4\left(x-7\right)\left(x-21\right)\left(x-14\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
  • x7=0x=7x-7=0\Leftrightarrow x=7
    Soit xx7x\mapsto x-7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x7x-7 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
  • x21=0x=21x-21=0\Leftrightarrow x=21
    Soit xx21x\mapsto x-21 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x21x-21 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=21x=21 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
  • x14=0x=14x-14=0\Leftrightarrow x=14
    Soit xx14x\mapsto x-14 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x14x-14 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=14x=14 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 44 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 44.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=11(x+5)(x1)(x+3)f\left(x\right)=11\left(x+5\right)\left(x-1\right)\left(x+3\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
  • x+5=0x=5x+5=0\Leftrightarrow x=-5
    Soit xx+5x\mapsto x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+5x+5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
  • x1=0x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit xx1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x1x-1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
  • x+3=0x=3x+3=0\Leftrightarrow x=-3
    Soit xx+3x\mapsto x+3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+3x+3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=-3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 1111 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 1111.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :