Exercices types : 1^ère partie

$f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400$
$f'\left(x\right)=-2\times2x+90$

Nous savons que : $f'\left(x\right)=-4x+90$
Ici la dérivée est une fonction du $1$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $f'\left(x\right)\ge 0$.
En effet, en résolvant $f'\left(x\right)\ge 0$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)\ge 0$ équivaut successivement à
$-4x+90\ge 0$
$-4x\ge -90$
$x\le \frac{-90}{-4}$ . ${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$
$x\le 22,5$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $-4x+90$ lorsque $x$ sera inférieur ou égale à $22,5$.
Il en résulte donc que :

• si $x\in\left[15;22,5\right]$ alors $f'\left(x\right)\ge0$ et donc $f$ est croissante sur cet intervalle.
• si $x\in\left[22,5;30\right]$ alors $f'\left(x\right)\le0$ et donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous allons compléter le tableau de variation en indiquant toutes les valeurs :

$f\left(15\right)=-2\times15^{2}+90\times15-400$ ainsi $f\left(15\right)=500$

$f\left(22,5\right)=-2\times22,5^{2}+90\times22,5-400$ ainsi $f\left(22,5\right)=612,5$

$f\left(30\right)=-2\times30^{2}+90\times30-400$ ainsi $f\left(30\right)=500$

Le maximum est atteint en $x=22,5$ et il vaut $612,5$

Le bénéfice est maximal pour une production de $2250$ panneaux solaires ( car nous avons $22,5$ centaines ).
Le bénéfice est alors de $61$ $250$ euros. N'oublions pas que le bénéfice de l’entreprise est exprimé en centaine d’euros

Il nous faut calculer $f\left(5\right)$ et $f\left(10\right)$.

$f\left(5\right)=2\times 5^{3}-120\times 5^{2}+1800\times 5-1000$ d'où

$f\left(5\right)=5250$

$f\left(10\right)=2\times 10^{3}-120\times 10^{2}+1800\times 10-1000$ d'où

$f\left(10\right)=7000$

Le bénéfice pour $5$ caméscopes est de $5250$ euros et pour $10$ caméscopes de $7000$ euros

$f\left(x\right)=2x^{3}-120x^{2}+1800x-1000$
$f'\left(x\right)=2\times3x^{2}-120\times2x+1800$

Il nous suffit de développer l'expression : $f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right)$ et montrer que cela nous donne bien $f'(x)=6x^2-240x+1800$
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right)$ équivaut successivement à :
$6\left(x-10)(x-30\right)=6(x\times x+x\times (-30)-10\times x-10\times (-30))$
$6\left(x-10)(x-30\right)=6(x^{2} -30x-10x+300)$
$6\left(x-10)(x-30\right)=6(x^{2} -40x+300)$
$6\left(x-10)(x-30\right)=6\times{x^{2}} +6\times{(-40x)}+6\times{300}$
$6\left(x-10)(x-30\right)=6x^2-240x+1800$
Ainsi :

Pour étudier le signe de $f'$, nous allons utiliser la forme $6\left(x-10)(x-30\right)$.
Comme $6>0$ alors le signe de $f'$ est du signe de $(x-10)(x-30)$.

$\red{\text{D'une part :}}$

$x-10=0\Leftrightarrow x=10$
Soit $x\mapsto x-10$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-10$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=10$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$x-30=0\Leftrightarrow x=30$
Soit $x\mapsto x-30$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-30$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=30$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
On en déduit le tableau de signe de $f'$ :

Pour avoir un bénéfice maximal, l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour $10$ caméscopes. Le bénéfice sera de $7000$ euros.

$300$ produits fabriqués correspondent ici à $x=3$.
Il vient alors que :

$R\left(3\right)=-2\times3^{3}+4,5\times3^{2}+62\times3$ d'où

$R\left(3\right)=172,5$

$C\left(3\right)=20\times+10$ d'où

$C\left(3\right)=70$

La recette correspondant à $300$ objets est de $172,5$ milliers d’euros et le coût est de $70$ milliers d’euros.
Il en résulte donc que le bénéfice correspondant est donc de $172,5-70=102,5$ milliers d’euros.

Ainsi :
$B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right)$ équivaut successivement à :
$B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x -\left(20x+10\right)$
$B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x -20x-10$

Nous savons que $B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+42x-10$.
$B'\left(x\right)=-2\times3x^{2}+4,5\times2x+42$

Nous voulons obtenir : $B'(x)=-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)$
Pour cela nous allons développer l'expression donnée $-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)$ .
Il vient alors que :
$-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\left(x\times x+x\times 2-\frac{7}{2}\times x-\frac{7}{2}\times 2\right)$
$-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\left(x^2+2x-\frac{7}{2}x-7\right)$
$-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\times{x^{2}} -6\times{2x}-6\times\left(-\frac{7}{2}x\right)-6\times{(-7)}$
$-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6x^2-12x+21x+42$
$-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6x^2+9x+42$
Ainsi :

Pour étudier le signe de $f'$, nous allons utiliser la forme $-6\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+2\right)$.

$\red{\text{D'une part :}}$

$x-\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}$
Soit $x\mapsto x-\frac{7}{2}$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-\frac{7}{2}$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{7}{2}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$
Soit $x\mapsto x+2$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-2$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Enfin, $-6$ est strictement négatif. On mettra que le signe $\left(-\right)$ dans la ligne de $-6$.
Il vient alors que :

On en déduit le tableau de variation suivant :

$B\left(0\right)=-2\times0^{3}+4,5\times0^{2}+42\times0-10$ d'où

$B\left(0\right)=-10$

$B\left(\frac{7}{2}\right)=-2\times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}+4,5\times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+42\times\left(\frac{7}{2}\right)-10$ d'où

$B\left(\frac{7}{2}\right)=106.375$

$B\left(7\right)=-2\times7^{3}+4,5\times7^{2}+42\times7-10$ d'où

$B\left(7\right)=-181.5$

Nous avons déterminer à la question précédente le tableau de variation de $B$. Le maximum est atteint pour $x=\frac{7}{2}=3,5$ .
Ainsi , le bénéfice est maximal pour $350$ objets fabriqués et vaut $106$ $375$ euros.