f(x)=−2x2+90x−400 On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [15;30] et on note f′ sa fonction dérivée.
1
Calculer la dérivée de f notée f′.
Correction
La dérivée d'un nombre est 0.
La dérivée d'un nombre×x est nombre.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée d'un nombre×x2 est nombre×2x.
f(x)=−2x2+90x−400 f′(x)=−2×2x+90
f′(x)=−4x+90
2
Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [15;30].
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
Nous savons que : f′(x)=−4x+90 Ici la dérivée est une fonction du 1er degré. Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0. En effet, en résolvant f′(x)≥0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle. Il vient alors que : f′(x)≥0 équivaut successivement à −4x+90≥0 −4x≥−90 x≤−4−90 . Attention : on change le sens de l’ineˊquation car on divise par un neˊgatif. x≤22,5 Cela signifie que l'on va mettre le signe + dans la ligne de −4x+90 lorsque x sera inférieur ou égale à 22,5. Il en résulte donc que :
si x∈[15;22,5] alors f′(x)≥0 et donc f est croissante sur cet intervalle.
si x∈[22,5;30] alors f′(x)≤0 et donc f est décroissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
3
Calculer son maximum.
Correction
Nous allons compléter le tableau de variation en indiquant toutes les valeurs :
f(15)=−2×152+90×15−400 ainsi f(15)=500
f(22,5)=−2×22,52+90×22,5−400 ainsi f(22,5)=612,5
f(30)=−2×302+90×30−400 ainsi f(30)=500
Le maximum est atteint en x=22,5 et il vaut 612,5
Les valeurs de x, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
4
Pour quelle production le bénéfice est-il maximal? Quelle est alors sa valeur?
Correction
Le bénéfice est maximal pour une production de 2250 panneaux solaires ( car nous avons 22,5 centaines ). Le bénéfice est alors de 61250 euros. N'oublions pas que le bénéfice de l’entreprise est exprimé en centaine d’euros
Exercice 2
Une entreprise, qui fabrique et vend des caméscopes numériques, modélise le bénéfice en euros pour x caméscopes fabriquées et vendus en une journée, à l'aide de la fonction f(x)=2x3−120x2+1800x−1000 .
L'entreprise ne pouvant construire plus de 30 caméscopes par jour. On aura ainsi : x∈[0;30]
1
Calculer le bénéfice pour 5 puis pour 10 caméscopes.
Correction
Il nous faut calculer f(5) et f(10).
f(5)=2×53−120×52+1800×5−1000 d'où
f(5)=5250
f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000 d'où
f(10)=7000
Le bénéfice pour 5 caméscopes est de 5250 euros et pour 10 caméscopes de 7000 euros
2
Calculer f′(x) où f′ désigne la fonction dérivée de f.
Correction
La dérivée d'un nombre est 0.
La dérivée d'un nombre×x est nombre.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée d'un nombre×x2 est nombre×2x.
La dérivée d'un x3 est 3x2.
La dérivée d'un nombre×x3 est nombre×3x2.
f(x)=2x3−120x2+1800x−1000 f′(x)=2×3x2−120×2x+1800
f′(x)=6x2−240x+1800
3
Montrer que l'on peut écrire f′ sous la forme f′(x)=6(x−10)(x−30) .
Correction
Il nous suffit de développer l'expression : f′(x)=6(x−10)(x−30) et montrer que cela nous donne bien f′(x)=6x2−240x+1800 Il vient alors que : f′(x)=6(x−10)(x−30) équivaut successivement à : 6(x−10)(x−30)=6(x×x+x×(−30)−10×x−10×(−30)) 6(x−10)(x−30)=6(x2−30x−10x+300) 6(x−10)(x−30)=6(x2−40x+300) 6(x−10)(x−30)=6×x2+6×(−40x)+6×300 6(x−10)(x−30)=6x2−240x+1800 Ainsi :
f′(x)=6(x−10)(x−30)
4
Etudier le signe de f′ sur l'intervalle [0;30] .
Correction
Pour étudier le signe de f′, nous allons utiliser la forme 6(x−10)(x−30). Comme 6>0 alors le signe de f′ est du signe de (x−10)(x−30).
D’une part :
x−10=0⇔x=10 Soit x↦x−10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=10 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)
D’autre part :
x−30=0⇔x=30 Soit x↦x−30 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−30 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=30 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) On en déduit le tableau de signe de f′ :
5
Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [0;30] .
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
f(0)=2×03−120×02+1800×0−1000 d'où
f(0)=−1000
f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000 d'où
f(10)=7000
f(30)=2×303−120×302+1800×30−1000 d'où
f(30)=−1000
6
En déduire combien de caméscopes l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.
Correction
Pour avoir un bénéfice maximal, l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 10 caméscopes. Le bénéfice sera de 7000 euros.
Exercice 3
Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles. On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros. Le nombre de produits fabriqués ,est lui, exprimé en centaines d’unités
On modélise :
la recette par la fonction R définie sur [0;7] par R(x)=−2x3+4,5x2+62x
les coûts par la fonction C définie sur [0;7] par C(x)=20x+10
1
Calculer la recette et le coût pour 300 produits fabriqués. En déduire le bénéfice correspondant.
Correction
300 produits fabriqués correspondent ici à x=3. Il vient alors que :
R(3)=−2×33+4,5×32+62×3 d'où
R(3)=172,5
C(3)=20×+10 d'où
C(3)=70
La recette correspondant à 300 objets est de 172,5 milliers d’euros et le coût est de 70 milliers d’euros.
Bénéfice = Recette − Coût de production
Il en résulte donc que le bénéfice correspondant est donc de 172,5−70=102,5 milliers d’euros.
On note B la fonction bénéfice.
2
Donner l’expression de B(x) sur l’intervalle [0;7].
Correction
Bénéfice = Recette − Coût de production
Ainsi : B(x)=R(x)−C(x) équivaut successivement à : B(x)=−2x3+4,5x2+62x−(20x+10) B(x)=−2x3+4,5x2+62x−20x−10
B(x)=−2x3+4,5x2+42x−10
3
Calculer B′ où B′ désigne la fonction dérivée de la fonction B.
Correction
Nous savons que B(x)=−2x3+4,5x2+42x−10.
La dérivée d'un nombre est 0.
La dérivée d'un nombre×x est nombre.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée d'un nombre×x2 est nombre×2x.
La dérivée d'un x3 est 3x2.
La dérivée d'un nombre×x3 est nombre×3x2.
B′(x)=−2×3x2+4,5×2x+42
B′(x)=−6x2+9x+42
4
Montrer que B′(x) peut s'écrire sous la forme : B′(x)=−6(x−27)(x+2)
Correction
Nous voulons obtenir : B′(x)=−6(x−27)(x+2) Pour cela nous allons développer l'expression donnée −6(x−27)(x+2) . Il vient alors que : −6(x−27)(x+2)=−6(x×x+x×2−27×x−27×2) −6(x−27)(x+2)=−6(x2+2x−27x−7) −6(x−27)(x+2)=−6×x2−6×2x−6×(−27x)−6×(−7) −6(x−27)(x+2)=−6x2−12x+21x+42 −6(x−27)(x+2)=−6x2+9x+42 Ainsi :
f′(x)=−6(x−27)(x+2)
5
Étudier le signe de B′(x). Donner le tableau de variation de B.
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
Pour étudier le signe de f′, nous allons utiliser la forme −6(x−27)(x+2).
D’une part :
x−27=0⇔x=27 Soit x↦x−27 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−27 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=27 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)
D’autre part :
x+2=0⇔x=−2 Soit x↦x+2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+2 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) Enfin, −6 est strictement négatif. On mettra que le signe (−) dans la ligne de −6. Il vient alors que :
6
Dresser le tableau de variation de B sur l'intervalle [0;7] .
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
On en déduit le tableau de variation suivant :
B(0)=−2×03+4,5×02+42×0−10 d'où
B(0)=−10
B(27)=−2×(27)3+4,5×(27)2+42×(27)−10 d'où
B(27)=106.375
B(7)=−2×73+4,5×72+42×7−10 d'où
B(7)=−181.5
7
En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l’obtenir.
Correction
Nous avons déterminer à la question précédente le tableau de variation de B.
Le maximum est atteint pour x=27=3,5 . Ainsi , le bénéfice est maximal pour 350 objets fabriqués et vaut 106375 euros.
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