Déterminer les extrema d'une fonction - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=3x^{2}-12x+1$$, il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times2x-12$$
Ainsi :

$$\red{\text{Etude du signe de }}$$ $$\red{f'}$$

$$6x-12=0\Leftrightarrow 6x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{6}\Leftrightarrow x=2$$
Soit $$x\mapsto 6x-12$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=6>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$6x-12$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau de signe de $$f'$$ est alors donnée ci-dessous :

Avec :

$$f\left(0\right)=3\times 0^{2}-12\times 0+1$$ d'où $$f\left(0\right)=1$$

$$f\left(2\right)=3\times 2^{2}-12\times 2+1$$ d'où $$f\left(2\right)=-11$$

$$f\left(3\right)=3\times 3^{2}-12\times 3+1$$ d'où $$f\left(3\right)=-8$$

D'après le tableau ci-dessous :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$2$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum

De plus :

Le maximum de $$f$$ sur $$\left[0;3\right]$$ est atteint en $$x=0$$ et a pour valeur $$1$$ .

Le minimum de $$f$$ sur $$\left[0;3\right]$$ est atteint en $$x=2$$ et a pour valeur $$-11$$ .