Tous les rappels sur les proportions, les pourcentages et les taux d'évolution, avec un exemple corrigé pour chacun

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Une station de vélos en libre-service compte $$640$$ vélos, dont $$35\%$$ sont des vélos électriques. Combien de vélos électriques compte cette station ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Il nous faut donc calculer : $$640\times\dfrac{35}{100}$$
Ainsi :
Cette station compte donc $$224$$ vélos électriques.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Un téléphone a une mémoire de $$128$$ Go. Les photos occupent $$48$$ Go de cette mémoire. Quel est le pourcentage de la mémoire occupée par les photos ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Le pourcentage de la mémoire occupée par les photos est de :

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Une salle de spectacle compte $$1\,500$$ places, dont $$420$$ places au balcon. Déterminer la proportion de places au balcon dans cette salle.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
La population totale des places, notée $$\red{N}$$, est égale à $$\red{1\,500}$$.
La sous-population des places ici correspond aux places au balcon. On note alors $$\blue{n}$$ qui est égale à $$\blue{420}$$.
La proportion $$p$$ de places au balcon dans la salle est alors : $$p=\dfrac{\blue{420}}{\red{1\,500}}$$ ainsi .
Finalement, les places au balcon correspondent à $$28\%$$ des places de la salle.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Dans une entreprise, $$45\%$$ des salariés travaillent à la production et $$40\%$$ d'entre eux travaillent de nuit. Quel est le pourcentage de salariés de l'entreprise qui travaillent à la production de nuit ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Dans notre exemple, la population $$E$$ correspond aux salariés de l'entreprise.
La sous-population $$A$$ ici correspond aux salariés de la production et ainsi $$p_{A}=45\%=0{,}45$$.
La sous-population $$B$$ ici correspond à la proportion des salariés de nuit parmi les salariés de la production, il vient alors que $$p_{B}=40\%=0{,}4$$.
La proportion $$p$$ d'individus de $$B$$ dans $$E$$, c'est-à-dire le pourcentage de salariés de l'entreprise qui travaillent à la production de nuit, vaut :
$$p=p_{A}\times p_{B}$$
$$p=0{,}45\times 0{,}4=0{,}18$$
Finalement, $$18\%$$ des salariés de l'entreprise travaillent à la production de nuit.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
1) Augmenter une valeur de $$12\%$$ revient à la multiplier par :
2) Diminuer une valeur de $$35\%$$ revient à la multiplier par :
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) Le coefficient multiplicateur est donc égal à
Ainsi, augmenter une valeur de $$12\%$$ revient à la multiplier par $$1{,}12$$.
2) Le coefficient multiplicateur est donc égal à
Ainsi, diminuer une valeur de $$35\%$$ revient à la multiplier par $$0{,}65$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Donner le pourcentage d'augmentation ou de diminution correspondant aux coefficients multiplicateurs suivants :
1) $$1{,}08$$
2) $$0{,}72$$
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) Ici, le coefficient multiplicateur vaut $$1{,}08$$. Ainsi :
taux d'évolution en $$\%$$ $$=\left(1{,}08-1\right)\times100$$

Il en résulte que le coefficient multiplicateur $$1{,}08$$ correspond à une augmentation de $$8\%$$.
2) Ici, le coefficient multiplicateur vaut $$0{,}72$$. Ainsi :
taux d'évolution en $$\%$$ $$=\left(0{,}72-1\right)\times100$$

Il en résulte que le coefficient multiplicateur $$0{,}72$$ correspond à une baisse de $$28\%$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
1) Le prix d'un abonnement mensuel est passé de $$24$$ € à $$27$$ €. Quel est le taux d'évolution de ce prix exprimé en pourcentage ?
2) Le nombre d'habitants d'un village est passé de $$1\,250$$ à $$1\,175$$. Quel est le taux d'évolution du nombre d'habitants exprimé en pourcentage ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1)

• La valeur initiale $$V_{0}$$ vaut ici $$24$$.
• La valeur finale $$V_{1}$$ vaut ici $$27$$.

Il vient alors que :
$$t=\dfrac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times100$$ équivaut successivement à :
$$t=\dfrac{27-24}{24}\times100$$

Le prix de l'abonnement a donc augmenté de $$12{,}5\%$$.
2)

• La valeur initiale $$V_{0}$$ vaut ici $$1\,250$$.
• La valeur finale $$V_{1}$$ vaut ici $$1\,175$$.

Il vient alors que :
$$t=\dfrac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times100$$ équivaut successivement à :
$$t=\dfrac{1\,175-1\,250}{1\,250}\times100$$

Le nombre d'habitants du village a donc diminué de $$6\%$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Un vélo est affiché à $$450$$ euros. Le vendeur accorde une remise de $$15\%$$. Combien allons-nous payer ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
D'après l'énoncé, on déduit que :

• La valeur initiale vaut $$450$$
• Le coefficient multiplicateur vaut $$1-\dfrac{15}{100}=0{,}85$$

Il en résulte donc que :
$$\text{Valeur finale}=450\times0{,}85$$

Le vélo nous coûtera maintenant $$382{,}50$$ euros.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Après une hausse de $$4\%$$, le loyer d'un appartement est de $$728$$ euros. Quel était le loyer avant la hausse ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
D'après l'énoncé, on déduit que :

• La valeur finale vaut $$728$$
• Le coefficient multiplicateur vaut $$1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$$

Il en résulte donc que :
$$\text{Valeur initiale}=\dfrac{728}{1{,}04}$$

Avant la hausse, le loyer était de $$700$$ euros.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Le prix d'un article augmente une première fois de $$20\%$$, puis il baisse de $$30\%$$ pendant les soldes. Quel est le taux global d'évolution ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Soit $$t$$ le taux global d'évolution recherché.

• Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de $$20\%$$ est : $$1+\dfrac{20}{100}=1{,}2$$
• Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $$30\%$$ est : $$1-\dfrac{30}{100}=0{,}7$$

Il en résulte donc que :
$$1+\dfrac{t}{100}=1{,}2\times 0{,}7$$
$$1+\dfrac{t}{100}=0{,}84$$
$$\dfrac{t}{100}=0{,}84-1$$
$$\dfrac{t}{100}=-0{,}16$$
$$t=-0{,}16\times 100$$

Le taux d'évolution global est de $$t=-16\%$$, c'est-à-dire qu'une augmentation de $$20\%$$ suivie d'une diminution de $$30\%$$ correspond à une diminution globale de $$16\%$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Le prix d'un article a augmenté de $$25\%$$. Quel devra être le taux d'évolution réciproque pour que l'article retrouve son prix initial ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Soit $$t'\%$$ l'évolution réciproque d'une augmentation de $$25\%$$.

• Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de $$25\%$$ est : $$1+\dfrac{25}{100}$$

Pour trouver la valeur de $$t'\%$$, il nous faut donc résoudre l'équation : $$1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1+\frac{t}{100}}$$.
Ainsi :
$$1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1+\frac{25}{100}}$$
$$1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1+0{,}25}$$
$$1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1{,}25}$$
$$1+\dfrac{t'}{100}=0{,}8$$
$$\dfrac{t'}{100}=0{,}8-1$$
$$\dfrac{t'}{100}=-0{,}2$$
$$t'=-0{,}2\times100$$

Si un prix augmente de $$25\%$$ alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de $$20\%$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Nous supposons que la TVA (taxe sur la valeur ajoutée) représente $$20\%$$ du prix HT. Le prix TTC est le prix final toutes taxes comprises.
Une imprimante est proposée au prix HT de $$135$$ €. Quel est son prix TTC ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
D'après l'énoncé, on déduit que :

• Le prix HT vaut $$135$$
• Le coefficient multiplicateur associé à la TVA de $$20\%$$ vaut $$1+\dfrac{20}{100}=1{,}2$$

Il en résulte donc que :
$$\text{prix TTC}=\text{prix HT}\times\text{coefficient multiplicateur TVA}$$
$$\text{prix TTC}=135\times1{,}2$$

Finalement, le prix TTC est alors de $$162$$ €.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
La TVA représente toujours $$20\%$$ du prix HT. Un casque audio coûte $$87$$ € TTC. Quel est son prix HT ?
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
D'après l'énoncé, on déduit que :

• Le prix TTC vaut $$87$$
• Le coefficient multiplicateur associé à la TVA de $$20\%$$ vaut $$1+\dfrac{20}{100}=1{,}2$$

Il en résulte donc que :
$$\text{prix HT}=\dfrac{\text{prix TTC}}{\text{coefficient multiplicateur TVA}}$$
$$\text{prix HT}=\dfrac{87}{1{,}2}$$

Finalement, le prix HT est alors de $$72{,}50$$ €.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Le tableau ci-dessous donne le prix moyen d'un billet de train et les indices correspondants, en prenant la base $$100$$ pour le prix de $$2020$$.

1) Compléter le tableau.
2) En déduire le taux d'évolution du prix entre $$2020$$ et $$2025$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) Pour obtenir l'indice correspondant à l'année $$2023$$, nous effectuons le calcul ci-dessous : (pensez au produit en croix)
$$\text{Indice}_{2023}=\dfrac{100\times46}{40}$$

Pour obtenir le prix correspondant à l'année $$2025$$, nous effectuons le calcul ci-dessous : (pensez au produit en croix)
$$\text{prix}_{2025}=\dfrac{130\times40}{100}$$

Nous complétons le tableau ci-dessous :

2)

• La valeur initiale $$V_{0}$$ vaut ici $$40$$.
• La valeur finale $$V_{1}$$ vaut ici $$52$$.

Il vient alors que :
$$t=\dfrac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times100$$ équivaut successivement à :
$$t=\dfrac{52-40}{40}\times100$$

Le taux d'évolution du prix entre $$2020$$ et $$2025$$ correspond à une augmentation de $$30\%$$.
Remarque : on peut aussi lire ce résultat sur les indices : l'indice passe de $$100$$ à $$130$$, il a augmenté de $$130-100=30$$ points, ce qui correspond bien à une augmentation de $$30\%$$ du prix.