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Variations des fonctions associées

Variation des fonctions associées - Exercice 4

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On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−4∣x∣−1f\left(x\right)=-4\left|x\right|-1
Question 1

Rappeler le sens de variation de la fonction valeur absolue sur R\mathbb{R}.

Correction
Le tableau de variation de la fonction valeur absolue est donnée ci-dessous :
Question 2

En déduire le sens de variation de la fonction ff sur R\mathbb{R}.

Correction
  • Soit kk un réel négatif, alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations contraires.
  • Soit kk un réel positif , alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations identiques.
  • Soit mm un réel , alors les fonctions ff et f+mf+m ont des sens de variations identiques.

On décompose la fonction ff en −4u(x)−1-4u\left(x\right)-1 avec u(x)=∣x∣u\left(x\right)=\left|x\right|.
La fonction uu est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0]\left]-\infty;0\right] donc la fonction −4u-4u est croissante sur ]−∞;0]\left]-\infty;0\right] car soit k=−4k=-4 un réel négatif, alors les fonctions uu et kuku ont des sens de variations contraires . De plus , la fonction −4u−1-4u-1 est décroissante sur ]−∞;0]\left]-\infty;0\right] car soit m=−1m=-1 un réel , alors les fonctions −4u-4u et −4u+m-4u+m ont des sens de variations identiques.

La fonction uu est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc la fonction −4u-4u est décroissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ car soit k=−4k=-4 un réel négatif, alors les fonctions uu et kuku ont des sens de variations contraires. De plus, la fonction −4u−1-4u-1 est décroissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ car soit m=−1m=-1 un réel , alors les fonctions −4u-4u et −4u+m-4u+m ont des sens de variations identiques.
Enfin :
f(0)=−4×u(0)−1f\left(0\right)=-4\times u\left(0\right)-1 donc f(0)=−1f\left(0\right)=-1
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction f=−4u−1f=-4u-1 :