Variation des fonctions associées - Exercice 3

Résolvons $$u\left(x\right)\ge 0$$
Ainsi :
$$u\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-3x+9\ge 0$$
$$-3x\ge -9$$
$$x\le \frac{-9}{-3}$$
$$x\le 3$$
Il en résulte que :

• $$u$$ est positive si $$x\in \left]-\infty ;3\right]$$
• $$u$$ est négative si $$x\in \left[3;+\infty \right[$$

On traduit cela dans un tableau de signe :

La fonction $$f$$ est définie si l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle.
On parle d'ici de radical pour l'expression sous la racine carrée.
Ainsi, il faut que $$-3x+9\ge 0$$.
D'après la question précédente, on sait que $$u$$ est positive si $$x\in \left]-\infty ;3\right]$$.
La fonction $$f$$ est donc bien définie sur $$\left]-\infty ;3\right]$$.

On sait que $$u\left(x\right)\ge 0$$ sur $$\left]-\infty ;3\right]$$.
De plus, $$u$$ est décroissante sur $$\left]-\infty ;3\right]$$. En effet, $$u$$ est une fonction affine donc le coefficient directeur est négatif, ici $$a=-3$$.
La fonction $$\sqrt{u}$$ et la fonction $$u$$ ont le même sens de variation.
Il en résulte que la fonction $$f$$ est décroissante sur $$\left]-\infty ;3\right]$$.
Ainsi :