Variation des fonctions associées - Exercice 2

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$8-2x$$.
Ainsi $$8-2x=0$$ d'où $$x=4$$.
Le domaine de définition est : $$D_{f} =\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4 ;+\infty \right[$$.
Finalement, $$f$$ est bien définie, en particulier, sur $$\left]4;+\infty \right[$$.

On décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{1}{u}$$ avec $$u\left(x\right)=8-2x$$.
$$u$$ est une fonction affine décroissante car le coefficient directeur $$a=-2<0$$.
De plus, la fonction $$u$$ est de signe constant sur l'intervalle $$\left]4;+\infty \right[$$ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :

Comme les fonctions $$u$$ et $$\frac{1}{u}$$ ont des sens de variations contraires, alors la fonction $$\frac{1}{u}$$ c'est à dire $$\frac{1}{8-2x}$$ est croissante sur l'intervalle $$\left]4;+\infty \right[$$.
On résume cela dans le tableau de variation ci-dessous :